重庆市璧山来凤中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题 解析

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来凤中学高二（上）数学第一次月考
命题人：向宁波 审题人：胡耀学 区分度：0.32
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题
1．直线
30xy+ + =
与直线
2 3 0xy− + =
的交点坐标为
A．
( )
3,0−
B．
( )
2, 3−−
C．
( )
0,1
D．
( )
1,0−
【答案】A
【分析】由两直线交点坐标的求法，只需联立两直线方程，解方程组即可得解.
【详解】解：联立两直线方程
30
2 3 0
xy
xy
+ + =
− + =
，解得
，故两直线的交点坐标为
( )
3,0−
，
故选 A.
【点睛】本题主要考查两直线的位置关系及两直线的交点坐标的求法，属基础题.
2．在长方体
1 1 1 1
ABCD A B C D−
中，
1
AB AD BB++
等于（ ）
A．
АC
B．
1
АC
C．
1
BC
D．
1
BD
【答案】B
【分析】根据长方体
1 1 1 1
ABCD A B C D−
，得到相等的向量，再利用空间向量的加法法则进行计算.
【详解】如图，可得
AD BC=
，
11
BB CC=
，所以
1 1 1
AB AD BB AB BC CC AC+ + = + + =
.
故选：B
3．已知平行四边形 ABCD 中，A（4，1，3），
( )
2, 5,1B−
，
( )
3,7, 5C−
，则顶点 D的坐标为（ ）
A．
7,4, 1
2

−


B．（ 2，3，1）
C．
( )
3,1,5−
D．
( )
5,13, 3−
【答案】D
【分析】利用
AB DC=
，代入坐标运算，即可求解.
【详解】因为四边形
ABCD
是平行四边形，所以
AB DC=
，
设点
( )
,,D x y z
，
( )
2, 6, 2AB = − − −
，
( )
3 ,7 , 5DC x y z= − − − −
，
所以
32
76
52
x
y
z
− = −
− = −
− − = −
，解得：
5x=
，
13y=
，
3z=−
，
即定点
D
的坐标是
( )
5,13, 3−
.
故选：D
4．已知
( 2, , )( , )= − + − m a b a b a b R
是直线 l的方向向量，
(2, 1,2)=−n
是平面
的法向量．若
l
⊥
，则下列
选项正确的是（ ）
A．
3 4 0ab− − =
B．
3 5 0ab− − =
C．
13
,
22
ab= − =
D．
13
,
22
ab= = −
【答案】C
【分析】根据
l
⊥
可得
m
与
n
共线，由向量的坐标表示可得答案.
【详解】若
l
⊥
，则
mn
=
，
即
22
2
ab
ab
−=
+ = −
−=
，解得
1
1
2
3
2
a
b
=−
=−
=
，且
19
35
22
− = − − = −ab
，即
3 5 0− + =ab
.
故选：C.
5．已知直线
:1
53
xy
l−=
的倾斜角为
，则
sin2
=
（ ）
A．
15
34
−
B．
15
34
C．
15
17
−
D．
15
17
【答案】D
【分析】由直线方程可得
3
tan 5
=
，计算得出正弦、余弦值再利用二倍角公式计算可得结果.
【详解】将直线
l
方程化为斜截式得
33
5
yx=−
，即
3
tan 5
l
k
==
，
所以
π
02

，又
22
sin 3
tan ,sin cos 1
cos 5
 
= = + =
，得
35
sin ,cos
34 34

==
，
所以
15
sin2 2sin cos 17
 
==
．
{#{QQABJYAEogAgAABAAQgCAQ2ACkIQkhAACYgGAEAEsAAByANABAA=}#}
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故选：D
6．在三棱锥
P ABC−
中，
PA ⊥
平面
ABC
，
90BAC = 
，
D
，
E
，
F
分别是棱
AB
，
BC
，
CP
的中点，
2AB AC==
，
4PA =
，则直线
PA
与平面
DEF
所成角的余弦值为（ ）
A．
25
5
B．
5
5
C．
3
5
D．
23
5
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式，结合线面角的定义进行求解即可.
【详解】由
90BAC = 
，得
BA AC⊥
，又
PA ⊥
平面
ABC
，
,BA AC
平面
ABC
，则
,PA AC PA AB⊥⊥
，
以
A
为坐标原点，直线
AB AC AP， ，
分别为
,,x y z
轴，建立空间直角坐标系，
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0,0,0 , 0,0,4 , 1,0,0 , 1,1,0 , 0,1,2A P D E F
，
(0,0,4)AP =
，
(0,1,0)DE =
，
( )
1,1,2DF =−
，设平面
DEF
的法向量为
( , , )m x y z=
，
则
0
20
m DE y
m DF x y z
= =
= − + + =
，令
1z=
，得
( )
2,0,1m=
，设直线
PA
与平面
DEF
所成角为
，
则
| | 4 5
sin | cos , | 5
| || | 45
AP m
AP m AP m
=  = = =
，所以
2
5 2 5
cos 1 ( )
55
= − =
.
故选：A
7．如图，已知二面角
l

−−
的大小为
60o
，
A
，
B
，
,C D l
，
,AC l BD l⊥⊥
且
3AC BD==
，
5CD =
，
则
AB =
（ ）
A．
34
B．
6
C．
2 13
D．
7
【答案】A
【分析】根据题意得到
AB AC CD DB= + +
，利用
( )
2
2
AB AC CD DB= + +
结合向量的数量积的运算公式，即
可求解．
【详解】因为二面角
l

−−
的大小为
60
，
A
，
B
，
,C D l
，
AC l⊥
，
BD l⊥
，
所以
AC
与
DB
的夹角为
120
，又因为
AB AC CD DB= + +
，
所以
( )
2
2 2 2 2 2 2 2AB AC CD DB AC CD BD AC CD CD DB DB AC= + + = + + + + +
1
9 25 9 0 0 2 3 3 34
2

= + + + + +    − =


，
所以
34AB =
，即
34AB =
．
故选：A．
8．设直线 l：
20xy+ − =
，点
( )
1,0A−
，
( )
10B,
，P为l上任意一点，则
PA PB+
的最小值为（ ）
A．
13
B．
10
C．
7
D．
5
【答案】B
【分析】先求得点
( )
1,0A−
关于直线 l的对称点
A
的坐标，则
AB
即为
PA PB+
的最小值.
【详解】设点
( )
1,0A−
关于直线 l的对称点为
( )
,A m n
，
则有
120
22
( 1) 1
1
mn
n
m
−
+ − =
− = −
+
，解之得
2
3
m
n
=
=
，则
( )
2,3A
，
则
PA PB+
的最小值为
( ) ( )
22
2 1 3 0 10AB = − + − =
故选：B
{#{QQABJYAEogAgAABAAQgCAQ2ACkIQkhAACYgGAEAEsAAByANABAA=}#}
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二、多选题
9．若
( )
( )
( )
1 2 1
,,
632
P AB P A P B= = =
，则下列说法正确的是（ ）
A．
( )
1
2
PA=
B．事件
A
与
B
不互斥
C．事件
A
与
B
相互独立 D．事件
A
与
B
不一定相互独立
【答案】BC
【分析】利用对立事件概率和为
1
可判断
A
错误；根据互斥事件不可能同时发生，可判断
B
正确；根据相互独
立事件的定义和性质，可以判断
C
正确，
D
错误.
【详解】
( )
2 2 1
, ( ) 1 ,
3 3 3
P A P A= = − =
故
A
错误；
又
( )
10,
6
P AB =
所以事件
A
与
B
不互斥，故
B
正确；
1 1 1
( ) ( ) ( ),
3 2 6
P A P B P AB =  = =
则事件
A
与
B
相互独立，故
C
正确；
因为事件
A
与
B
相互独立，所以事件
A
与
B
一定相互独立，故
D
错误.
故选：
BC.
10．若直线
:(2 1) ( 3) 1 0l a x a y− + − + =
不经过第四象限，则实数
a
的可能取值为（ ）
A．
1
3
B．
4
3
C．3 D．4
【答案】BC
【分析】由直线过定点
12
,
55

−


，讨论直线斜率范围即可.
【详解】直线方程可化为
( )
2 3 1 0a x y x y+ − − + =
，
由
20
3 1 0
xy
xy
+=
− − + =
，解得
1
5
2
5
x
y
=−
=
，即直线过定点
12
,
55

−


，定点在第二象限，
直线
:(2 1) ( 3) 1 0l a x a y− + − + =
不经过第四象限，则直线斜率不存在或斜率大于等于 0，
3a=
时，直线斜率不存在；
斜率大于等于 0，即
21
0
3
a
a
−
−
−
，解得
13
2a
.
综上可知，实数
a
的取值范围为
1,3
2



，BC 选项符合.
故选：BC.
11．已知单位向量
i
，
j
，
k
两两所成的夹角均为
（
0π

，且
π
2
），若空间向量
a
满足
( )
, , Ra xi yj zk x y z= + +
，则有序实数组
( )
,,x y z
称为向量
a
在“仿射”坐标系
O zyz−
（O为坐标原点）下的“仿
射”坐标，记作
( )
,,a x y z
=
，则下列命题正确的有（ ）
A．已知
(2,0, 1)a
=−
，
(1,0,2)b
=
，则
0ab=
B．已知
1 1 1
( , , )a x y z
=
，
2 2 2
( , , )b x y z
=
，则
1 2 1 2 1 2
( , , )a b x x y y z z
− = − − −
C．已知
3
π
(1,0,0)OA =
，
3
π
(0,1,0)OB =
，
3
π
(0,0,1)OC =
，则三棱锥
O ABC−
的体积
2
12
V=
D．已知
π
3
( , ,0)a x y=
，
π
3
(0,0, )bz=
，其中
0xyz
，则当且仅当
xy=
，向量
a
，
b
的夹角取得最小值
【答案】BC
【分析】对于 A，根据“仿射”坐标的定义结合向量数量积的定义分析判断，对于 B，根据“仿射”坐标的定义结
合向量的加减法运算分析判断，对于 C，由题意可得三棱锥
O ABC−
是棱长为 1的正四面体，从而可求出其体
积，对于 D，根据“仿射”坐标的定义结合向量的夹角公式分析判断.
【详解】对于 A，
2a i k=−
，
2b i k=+
，
(2 ) ( 2 ) 3cosa b i k i k
  = − + =
，
π
2
，
0ab 
，故 A错；
对于 B，∵
1 1 1
( , , )a x y z
=
，
2 2 2
( , , )b x y z
=
，
∴
1 1 1
a x i y j z k= + +
，
2 2 2
b x i y j z k= + +
∴
( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 2
a b x x i y y j z z k− = − + − + −
，
( )
1 2 1 2 1 2
,,a b x x y y z z
 − = − − −
，故 B对；
对于 C，由题意，三棱锥
O ABC−
是棱长为 1的正四面体，则正四面体的高为
2
22 3 6
13 2 3
h
= −  =



，
1 1 3 6 2
1
3 2 2 3 12
O ABC
V−
=   =
，故 C对；
对于 D，由
π
3
( , ,0)a x y=
，
π
3
(0,0, )bz=
，得
a xi yj=+
，
b zk=
∴
( )
( )
( )
1
2
a b xi yj zk xz yz = + = +
，
22
a x y xy= + +
，
2
bz=
，
∴
22
2 2 2
22
,0
1() 2
2
cos ,
,0
2
xy z
xz yz x y xy
ab xy
x y xy z z
x y xy
+
+++
==
+
++ −
++
，
{#{QQABJYAEogAgAABAAQgCAQ2ACkIQkhAACYgGAEAEsAAByANABAA=}#}
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