安徽省十校联盟第三届（2023年）高二解题能力竞赛数学试卷 含答案

3.0 envi 2024-11-23 5 4 448.07KB 11 页 3知币
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第三届高二年级数理化生解题能力竞赛
数学试题
满分 120 分，考试时间 120 分钟.请在答题卡上作答.
一 填空题：本大题共､8小题，每小题 8分，共 64 分.
1.如果函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，则 的值
为__________.
2.已知命题 ：对任意的正数 ，有 ，命题 ：不存在实数 ，使 .若命题
都为假命题，则实数 的取值范围是__________.
3.在立方体中放人 9个球，一个与立方体 6个面都相切，其余 8个相等的球都与这个球及立方体的三个面相切，
已知 8个相等的球的半径都为 ，则立方体的体积为__________.
4.圆 上有一定点 是该圆上的两动点.如果 为常数
，可证 必与某个圆 相切，则 的方程为__________.
5.对 的长方形方格带的某些 小方格染色（染成红色），要求任何一个 的正方形方格中至少有一
个 的小方格未被染色，这样的染色方式有__________种.
6.一离散型随机变量 的分布列为：
0 1 2 3
0.1
其中 为变数， 为正常数，且当 时方差 有最大值，则 的值为__________.
7.已知双曲线 的右焦点为 ，过 的直线与双曲线右支交于 两点，若以 为直
径的圆过原点，则双曲线离心率 的取值范围是__________.
8. __________.
二 解答题：本大题共､3小题，共 56 分.解答应写出文字说明 证明或演算步骤､.
9.（本小题满分 16 分）
已知函数 ，且对一切 ，都有 .
（1）将 分别表示成关于 的函数，并求出 的取值范围；
（2）对于给定的 ，求 在区间 上的最小值.
10.（本小题满分 20 分）
某游戏公司开发了一款游戏，共有两关，公司组织了水平相当的 位玩家测试这款游戏.玩家按
预先指定的顺序依次上场，每位玩家的测试都是相互独立的.他们通过第一关测试的概率都为 ，
通过第二关测试的概率都为 .若玩家通不过第一关测试，则他下场，由下一位玩家继续上场测试，
若玩家通过第一关测试，则继续第二关的测试，若第二关测试通过，则游戏测试终止，若第二关测试通不过，
则下一位玩家直接从第二关开始测试.当 时，求第 位玩家终止测试的概率（用含
的式子表示）.
11.（本小题满分 20 分）
已知函数 （ 为常数）的图象上存在四个点 ，过 的切线为 ，其中
，且 围成的图形是正方形.
（1）求证： ；
（2）试求 的取值范围.
第三届高二年级数理化生解题能力竞赛
数学参考答案
一 填空题：本大题共､8小题，每小题 8分，共 64 分.
1.1
由题意得， ，由 ，得 ，
解得 或 .当 时， ，当 时， ，
则 在区间 上单调递增，不满足条件，舍去；当 时，
，则 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，满足题意，
故.
2.
当命题 为真命题时，对任意的正数 命题 为假命题时， ；当
命题 为假命题时，存在实数 ，使 ， ，故命题 都为假命题时，实数 的取
值范围是 .
3.8
设立方体的边长为 ，则 ，解得 ，则立方体的体积为 8.
4.
设 到 的距离为 ，则 ，
又 与圆 相切.
5.3105
考虑 个方格的染色情况.最后 2个方格如果没有染色或只有一个染色（它有 3种可能的情况），前
面的 个方格有 种染色方式，共有 种染色方式；如果最后两个方格都染色，则与它相邻的 2个方格
或者没有染色或者只有一格染色，前面的 方格有 种染色方式，共有 种染色方式，故
，其中 ，由此可知 ，
.
6.0.1
由题意得，
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