重庆主城区二诊高2023届学业质量调研抽测（第二次）数学答案

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高三数学参考答案及评分意见 第 1页 （共 7页）
高2023 届学业质量调研抽测（第二次）
高三数学参考答案及评分意见
一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1～4．CBDD；5～8．BABC.
二、选择题：本大题共 4小题,每小题 5分,共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
9．AD；10．BCD；11．BC；12．ACD.
三、填空题：本大题共 4小题,每小题 5分,共 20 分。
13．
65
；14．
50o
（答案不唯一）； 15．
2
；16．
( 2, 2)
，
4 2
．
四、解答题：
17．解：（1）（法一）由余弦定理可得
2 2 2
2 2 2
a c b
c b a ac
 
 
，
即
2 2 2 2
2c bc a c b  
，整理可得
2 2 2
b c a bc  
，……………………………3 分
所以
，
0A
 Q
，
2
3
A
 
.………………………………………………………………5 分
（法二）由正弦定理可得
2sin sin 2sin cosC B A B 
，
sin sin[π ( )] sin( ) sin cos cos sinC A B A B A B A B  
，
2 cos sin sin 0A B B  
，……………………………………………………………3 分
sin 0B
Q
，
1
cos 2
A  
，
0A
 Q
，
2π
3
A 
…………………………………………………………………5 分
（2）在
ABCV
中,
2 2 2
2
2 cos 3
b c bc a
 
,即
2 2 2 0b c a bc 
,
2 2 2 3 0b a c c  
,与上式结合可得
3b
,……………………………………………6 分
1 3 15 3
sin
2 4 4
bc A bc 
,故
15bc
,所以
5c
,…………………………………7 分
（法一）在
ABC△
中,
2 2 2 2 cos 49BC AB AC AB AC A  
,
7,a 
易得
11
cos 14
C
，
在
ACD△
中,
2 2 2 49 7 11 19
2 cos 9 2 3
4 2 14 4
AD AC CD AC CD C  
,
高三数学参考答案及评分意见 第 2页 （共 7页）
故
19
2
AD
.…………………………………………………………………………10 分
（法二）
2AD AB AC 
  
，
 
2 2
2 9+25-15=19AD AB AC 
 
+ = ，
19 .
2
AD 
…………………………………………………………………………10 分
18．解：（1）（法一）由
 
2
1 4
n
n a n n k  
，令
1,2,3n
，
得到
1 2 3
5 18 39
, ,
2 3 4
k k k
a a a
 
 
,……………………………………………1 分
∵
 
n
a
是等差数列，则
2 1 3
2a a a 
，即
36 2 5 39
3 2 4
k k k  
 
∴
3k 
,……………………………………………………………………………3 分
由于
2
( 1) 4 3 ( 1)(4 3)
n
n a n n n n  
∵
1 0n 
，∴
4 3
n
a n 
.………………………………………………………4 分
（法二）∵
 
n
a
是等差数列，公差为
d
，设
 
1 1
1
n
a a d n dn a d  
∴
   
2
1 1 1
1 1
n
n a n dn a d dn a n a d    
∴
2 2
1 1 4dn a n a d n n k  
对于
*
n N 
均成立
则
1
1
4
1
d
a
a d k
 
，解得
3k 
，
4 3
n
a n 
.……………………………………………4 分
∵
2 3 3
n n
T b 
，∴当
2n
时，
1 1
2 3 3
n n
T b
 
 
，两式相减得
 
1
2 3 3 2
n n n
b b b n
 
，
即
 
1
3 2
n n
b b n
 
，又
1 1
2 3 3b b 
∴
13b
∴数列
{ }
n
b
是首项为
3
，公比为
3
的等比数列，∴
3
n
n
b
.……………………7 分
（2）由（Ⅰ）知:
3
n
n
b
，则
481b
，
5243b
，
∵
52 4 52 3 205a   
，∴
4 52 5
b a b 
∴数列
{ }
n
a
的前
52
项中有数列
{ }
n
b
中的项
29b
和
481b
，…………………9 分
∴数列
 
n
c
的前
50
项和为：
250 1 52
52(1 205)
) (9 81) 90 5266
2
(S a aa
  L
.………………12 分
高三数学参考答案及评分意见 第 3页 （共 7页）
19．解：
（1）
……………………………………………………………………2 分
由上表数据可知：
2 2
2( ) 200(60 50 50 40)
( )( )( )( ) 100 100 110 90
n ad bc
Ka b c d a c b d
 
 
  
200 2.020 2.706
99
 
，
所以没有 90%的把握认为该种新药对治愈该病毒感染有作用．……………………5 分
（2）
X
的可能取值为 0，1，2，3, 由题意可知，
X
服从二项分布，则
3
3
( ) (0.6) (0.4) 0,1, 2, 3)
i i i
P X i C i
  （
，
X
的分布列为：
X
0
1
2
3
P
8
125
36
125
54
125
27
125
X
的期望为：
( ) 1.8E X np 
.……………………………………………………9 分
(3)假设新药的有效率确实达到 90%，设 10 个感染者使用该药治愈的人数为
X
，则
(10, 0.9)X B
，
6 10
10 10
10 10
0 7
( 6) (0.9) (0.1) 1 (0.9) (0.1) 0.013
i i i i i i
i i
P X C C
 
 
 
 
，
0.013
是一个小概率，小概率事件竟然发生了，与小概率原理矛盾，所以有理由怀疑药厂的宣
传.……………………………………………………………………………………12 分
20．（1）证明：取
PC
的中点为
F
,连接
MF
，则
/ / / /MF BC DE
,且
1
2
MF BC DE 
,
∴四边形
DEMF
是平行四边形，
/ /DF EM
， ……………………………………3 分
DF Q
平面
PCD
,
EM
平面
PCD
,
∴直线
/ /EM
平面
PCD
. ………………………………………………………………5 分
治愈
未治愈
合计
使用新药
60
40
100
未使用新药
50
50
100
合计
110
90
200
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