重庆市育才中学2022-2023学年高三下学期开学考试数学试题参考答案

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数学试卷参考答案
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
B C C A D B D B
8. 如下图所示：因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，即 ，
又 ，所以 ，所以 或 ，所以 ，所以 ，所以
，
又因为 ， ，
，
所以 的周长为： ，故选：B.
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选
对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9 10 11 12
BD ACD BCD ABD
11. ， ，故 A 错误；
，故 B 正确；
若 ，则 ，故 ，C 正确；
，D 正确．
12．对于 A 选项，函数的的定义域为 ，函数的导数 ，
∴ 时， ，函数 单调递减， 时， ，函数 单调递增，
∴ 是 的极小值点，故 A 正确；
对于 B 选项，若 ，可得 ，令 ，则 ，
令 ，则 ，∴在 上， ，函数 单调递增，
上， ，函数 单调递减，∴ ，∴ ，
∴ 在 上函数单调递减，函数无最小值，
∴不存在正实数 ，使得 成立，故 B 正确；
对于 C 选项， ，
∴ ，∴ 函数在 上单调递减，
又∵ ， ，
∴ 函数 有且只有 1 个零点，故 C 错误；
对于 D 选项，由 ， 结合 A 选项可知 ，
要证 ，即证 ，且 ，
由函数 在 是单调递增函数，所以有 ，
由于 ，所以 ，即证明 ，
令 ，
则 ，所以 在 是单调递减函数，
所以 ，即 成立，
故 成立，所以 D 正确.
三、填空题：全科试题免费下载公众号《高中僧课堂》本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13． 14．10 15． 16．2，
9π
16．设四棱锥的高为
h
，则 ＝ ，
V
′＝2（1+
h
）（1﹣
h
），当
h
＝1 时，
V
最大，此时底面
ABCD
的边长为 2，
设球半径为
R
，则 2+（R﹣1）2＝
R
2，解得
R
＝ ，
∴球
O
的表面积为
S
＝4π×（ ）2＝9π．
四、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（1）由
2ac sin 2 B=❑
√
3(a2+c2−b2)
得
sin 2 B=
❑
√
3(a2+b2− c2)
2ac
…………………1 分
2 sin Bcos B=❑
√
3 cos B
………………………………………………………2 分
sin B=❑
√
3
2
或
………………………………………………………3 分
所以
B=π
3
或
π
2
或
2π
3
……………………………………………………………5 分
（2）由 为锐角三角形，
B=π
3
，根据正弦定理
所以
a+2c=b
sin B(sin A+2 sinC)
=
2 sin A+4 sin(A+π
3)
…………………………7 分
所以
a+2c=4 sin A+2❑
√
3cos A=2❑
√
7 sin (A+θ)
………………………………9 分
其中
θ
为锐角，
tanθ=❑
√
3
2
.
所以
a+2c
的最大值为
2❑
√
7
………………………………………………………10 分
18．（1）由样本频率分布表可知，样本中获一等奖的 6 人，获二等奖的 8 人，获三等奖 的 16 人，共 30 人，则 70
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