重庆市永川北山中学校高2025级高一下期期中考试数学试题
重庆市永川北山中学校高2025 级高一下期半期考试
数学试题卷
【注意事项】
1．答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
一、单项选择题（本大题 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。）
1.复数
z=¿
√
3−i∨+i5
，则复数
z
的共轭复数是 ()
A.
2−i
B.
2+i
C.
4−i
D.
4+i
2.如图所示，
F
为平行四边形
ABCD
对角线
BD
上一点，
BF
⃗
=1
3FD
⃗
，则
AF
⃗
=¿
()
A.
3
4AB
⃗
−1
4AD
⃗
B.
3
4AB
⃗
+1
4AD
⃗
C.
1
4AB
⃗
+3
4AD
⃗
D.
1
4AB
⃗
−3
4AD
⃗
3.已知
cos (π
4−α)= 4
5
，则
sin 2 α=¿
()
A.
−1
5
B.
1
5
C.
−7
25
D.
7
25
4.在
△ABC
中，内角
A
、
B
、
C
所对的边分别为
a
、
b
、
c
，若
sin A:sin B:sin C=2 :4 : 5
，则
cos B=¿
()
A.
13
20
B.
37
40
C.
−5
16
D.
1
8
5.一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形
A ′ B′ O′
，若
O ′ B ′=2
，那么原
▵ABO
的面积是 ()
A.
1
B.
√
2
C.
2
√
2
D.
4
√
2
6.设
α
，
β
为两个不同的平面，
m
，
n
为两条不同的直线，下列命题正确的是 ()
A.若
m/¿n
，
n⊂α
，则
m/¿α
B.若
m/¿α
，
n/¿β
，
m/¿n
，则
α/¿β
C.若
m⊥β
，
n/¿β
，则
m⊥n
D.若
α⊥β
，
α ∩ β=m
，
n⊥m
，则
n⊥α
7.正三棱锥
P − ABC
中，
AB=2
√
6
，顶点
P
到底面
ABC
的距离为
2
，其各顶点都在同一球面上，
则该球的半径为 ()
A.
√
5
B.
√
6
C.
2
√
2
D.
3
8.在锐角
△ABC
中，角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，
S
为
△ABC
的面积，且
2S=a2−¿
，
则
b
c
的取值范围为()
A.
(1
2,2)
B.
(2
3,3
2)
C.
(3
5,5
3)
D.
(3
4,4
3)
二、多项选择题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项是
符合题目要求的，全部选对得 5分，部分选对得 2分，选错或不选得 0分。）
9.设向量
a
⃗
=(−1,1)
，
b
⃗
=(0,2)
，则 ()
A.
¿a
→
∨¿∨b∨¿
B.
(a
→
− b)/¿a
→
C.
(a
→
− b)⊥a
→
D.
a
→
与
b
⃗
的夹角为
π
4
10.下列各式中，值为
√
3
2
的是 ()
A.
√
1−cos 120°
2
B.
cos2π
12 −sin2π
12
C.
cos 15 °sin 45 °− sin 15°cos 45°
D.
tan15 °
1−tan215°
11.已知
▵ABC
内角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
，以下结论中正确的是 ()
A.若
A>B
，则
sin A>sin B
B.若
a=2
，
b=
√
5
，
B=π
3
，则该三角形有两解
C.若
acosA =bcosB
，则
▵ABC
一定为等腰三角形
D.若
sin2C>sin2A+sin2B
，则
▵ABC
一定为钝角三角形
12.如图所示，在棱长为
1
的正方体
ABCD− A1B1C1D1
中，
P
，
Q
分别为棱
AB
，
BC
的中点，
则以下四个结论正确的是 ()
A.棱
C❑1D❑1
上存在一点
M
，使得
AM
¿/¿
平面
B❑1PQ
B.直线
A❑1C❑1
到平面
B❑1PQ
的距离为
2
3
C.过
A❑1C❑1
且与面
B❑1PQ
平行的平面截正方体所得截面面积为
9
8
D.过
PQ
的平面截正方体的外接球所得截面面积的最小值为
3π
8
三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13.已知向量
a
⃗
, b
⃗
的夹角是
60∘
，且
¿a
⃗
∨¿1
，
¿b
⃗
∨¿2
，则
a
→
⋅(a
→
+b
→
)=¿
14.如图，半径为
4cm
的半圆剪去一个以直径为底的等腰直角三角形，
将剩余部分以半圆的直径为轴旋转一周，所得几何体的体积是
c m3
．
15. 求值：
sin 50∘(1+
√
3 tan 10∘)=¿
16.秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作
《
数书九章
》
中有己知三边求兰角形面积的方法
以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上
.
以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一
为从隅，开平方得积。”如果把以上这段文字写成公式就是
S=
√
1
4[a2c2−(a2+c2− b2
2)
2
]
，其中
a
，
b
，
c
是
△ABC
的内角
A
，
B
，
C
的对边，若
sin C=2 sin AcosB
，且
b2
，
2
，
c2
成等差数列，
则
△ABC
面积
S
的最大值为___________．
四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17.（满分 10 分）已知
cosα=4
5
，
cos (α+β)= 5
13
，
α , β
均为锐角．
(1)
求
sin 2 α
的值；
(2)
求
sinβ
的值．
18.（满分 12 分）已知
i
是虚数单位，复数
z
的共轭复数是
z
，且满足
z+2z=5+i
1+i
．
(I)
求复数
z
的模
¿z∨¿
；
(II )
若复数
z(2−mi)
在复平面内对应的点在第一象限，求实数
m
的取值范围．
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