重庆市永川北山中学校高2025级高一下期期中考试数学答案

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重庆市永川北山中学校高2025 级高一下期半期考试
数学参考答案
1.【答案】A
【解析】由
i4=1
，可得
i5=i4⋅i=i
，
∴z=
|
√
3− i
|
+i5=
√
(
√
3
)
2+12+i=2+i
，所以
z=2−i
，
故选 A．
2. 【答案】B
【解析】
AF
⃗
=AB
⃗
+BF
⃗
=AB
⃗
+1
4BD
⃗
=3
4AB
⃗
+1
4AD
⃗
，故选 B．
3.【答案】D
【解析】
∵cos(π
4− α)=cos π
4cos α+sin π
4sin α=4
5
，
∴cos α+sin α=4
√
2
5
，
，
∴sin2 a=7
25
．
故选 D
4.【答案】A
【解析】因为
a:b:c=sin A: sin B:sin C=2: 4 :5
，
令
a=2t
，
b=4t
，
c=5t(t>0)
，则
cos B=a2+c2−b2
2ac =4t2+25 t2−16 t2
2×2t × 5t=13
20
．
故选：
A
．
5.【答案】D
【解析】因为三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形
A′B′C′
，
所以
△ABO
的底
OB=O′B′=2
，
A′O′=2
√
2
，
在
△ABO
中为直角三角形，高
OA=2A ′ O ′=2×2
√
2=4
√
2
．
所以直角三角形
△ABO
的面积是
1
2×2×4
√
2=4
√
2
．
故选 D．
6.【答案】C
【解析】若
m/¿n
，
n⊂α
，则
m/¿α
或
m⊂α
，故 A不正确
;
若
m/¿α
，
n/¿β
，
m/¿n
，则
α/¿β
或
α , β
相交，故 B不正确；
若
m⊥β
，
n/¿β
，则
m⊥n
，故 C正确；
若
α⊥β
，
α ∩ β=m
，
n⊥m
，则
n
与
α
相交或
n/¿α
或
n⊂α
，故 D项不正确．
7.【答案】D
【解析】设该球的半径为
R
．
因为正
△ABC
的边长为
2
√
6
，
所以
△ABC
的外接圆半径为
2
3×
√
3
2×2
√
6=2
√
2
．
因为正三棱锥
P − ABC
的顶点
P
到底面
ABC
的距离为
2
，
所以
√
(
2− R
)
2+
(
2
√
2
)
2=R
，解得
R=3
．
8.【答案】C
【解析】
△ABC
中，由余弦定理得，
a2=b2+c2−2bccosA
，
且
△ABC
的面积为
S=1
2bcsinA
，
由
2S=a2−¿
，
得
bcsinA=2bc −2bccosA
，
化简得
sinA+2cosA=2
；
又
A∈(0,π
2)
，
sin2A+cos2A=1
，
所以
sinA+2
√
1−sin2A=2
，
化简得
5si n2A −4sinA=0
，
解得
sinA=4
5
或
sinA=0¿
不合题意，舍去
¿
；
所以
b
c=sin B
sin C=sin(A+C)
sin C
¿sin Acos C+cos AsinC
sinC=4
5 tan C+3
5
，
由
B+C=π − A
，且
B∈(0,π
2)
，
π − A ∈(π
2, π )
，
解得
C∈(π
2− A , π − A)∩(0,π
2)=( π
2− A , π
2)
，
所以
tanC >1
tan A=3
4
，所以
1
tan C∈(0,4
3)
，所以
b
c∈(3
5,5
3)
；
故选：C．
9.【答案】CD
【解析】由题意，
a
⃗
=(−1,1)
，
b
⃗
=(0,2)
，
则
|
a
⃗
|
=
√
(
−1
)
2+12=
√
2
，
¿b
⃗
∨¿
√
02+22=2
，故 A错误；
易知
a
⃗
− b
⃗
=
(
−1,− 1
)
，由
1×
(
−1
)
−
(
−1
)
×
(
−1
)
=−2≠0
，
所以
(a
⃗
− b
⃗
)
与
a
⃗
不平行，故 B错误；
又
(
a
⃗
− b
⃗
)
· a
⃗
=
(
−1
)
×
(
−1
)
+1×
(
−1
)
=0
，即
(a
⃗
− b
⃗
)⊥a
⃗
，故 C正确；
因为
cos
⟨
a
⃗
, b
⃗
⟩
=a
⃗
· b
⃗
|
a
⃗
|
·
|
b
⃗
|
=−1×0+1×2
√
2×2=
√
2
2
，
又
⟨a
→
, b
→
⟩∈[0, π ]
，所以
a
⃗
与
b
⃗
的夹角为
π
4
．
故选 CD．
10.【答案】AB
【解析】
A
．
√
1−cos 120°
2=
√
1+1
2
2=
√
3
2
，正确，
B.
co s2π
12 − sin2π
12=cos π
6=❑
√
3
2
，正确，
C.
cos 15 °sin 45 °− sin 15°cos 45°=sin
(
45 ° −15 °
)
=sin 30 °=1
2
，不正确，
D.
tan15 °=tan(45 ° −30 °)= tan 45° − tan 30°
1+tan 45 ° · tan 30°=2−
√
3
，
那么
tan 15 °
1−tan 15 °=2−
√
3
1−(2−
√
3)=
√
3−1
2
，不正确．
故选 AB．
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