云南省曲靖市第二中学学联体2023 届高三联考（第二次）数学答案

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曲 靖 市 第 二 中 学 学 联 体 2023 届高三联考(第二次)
数 学 参 考 答 案
一、选择题:本题共 8小题,每小题 5分,共40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题
目要求的.
题目 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A C D B C A D
二、选择题:本题共 4小题,每小题 5分,共20 分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要
求,全部选对的得 5分,部分选对的得 2分,有选错的得 0分.
题目 9 10 11 12
答案 BD BCD ABC ABD
三、填空题:本题共 4小题,每小题 5分,共20 分.
13.110　 　 　 　 　 14.1
4　 　 　 　 　 15.91
7　 　 　 　 　 16.(-∞,-ln3e
2]
四、解答题:本题共 6小题,共70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分 10 分)
解:(1)由题知:
3a1+2×3
2d=9
(a1+d+1)(a1+4d)=36
ì
î
í
ï
ï
ï
ï
⇒
d=2
a1=1
{
∴an=2n-1 5 分………………………………………………………………………………………
(2)bn=22n-1+2n-1=1
2·4n+2n-1;
∴Tn=1
2
4 1-4n
( )
1-4
é
ë
ê
êù
û
ú
ú+1+2n-1
( ) n
2=2
3(4n-1)+n2.10 分…………………………………………
18.(本小题满分 12 分)
解:(1)选①∵ sinAcos A-π
6
( )
=sinAcosAcos π
6+sinAsin π
6
( )
=3
2sinAcosA+1
2sin2A=3
4sin2A-1
4
cos2A+1
4=1
2sin 2A-π
6
( )
+1
4=3
4,∴ sin 2A-π
6
( )
=1
页6共·页1第·案答考参学数
∵A∈ 0,π
( ) ,∴ 2A-π
6∈-π
6,11π
6
( )
,∴ 2A-π
6=π
2,解得:A=π
3.(5 分)………………………
选②
由正弦定理,得sinAcosC+3 sinCsinA=sinB+sinC
∵ A,B,C 为△ABC 的内角,∴ A+B+C=π
∴ sinB=sin A+C
( ) =sinAcosC+cosAsinC
∴ 3 sinCsinA=sinCcosA+sinC
∵A∈ 0,π
( ) ,C∈ 0,π
( ) ,∴ sinC≠0, 3 sinA-cosA=1
∴ sin A-π
6
( )
=1
2
易知 A-π
6∈-π
6,5π
6
( )
,∴ A-π
6=π
6,即A=π
35分………………………………………………
(2)∵ D是BC 中点,∴ S△ABC =2S△ADC =2×1
2AC·DE =8DE =6 3
又S△ABC =1
2AB·ACsinA=2 3 ·AB =6 3 ,解得:AB =3
在△ABC 中,由余弦定理得:BC2=AB2+AC2-2AB·ACcosA=9+64-24 =49
∴BC =7,则CD =7
2,∴ CE =CD2-DE2=49
4-27
16 =13
412 分……………
19.(本小题满分 12 分)
解:(1)过点 A作AE⊥BC 于点 E,连接 BD
∵AD / / BC,AB =AD =DC =1
2BC =2
∴BE =1,即∠BAE =π
6,所以∠BAD =2π
3
在△ABD 中,BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos∠BAD =4+4-2×2×2× - 1
2
( )
=12
∴BD2+CD2=BC2,即CD⊥BD
又∵A′C =2 2 ,∴ A′C2=A′D2+CD2,即CD⊥A′D
又A′D∩BD =D,且A′D,BD 均含于面 A′BD,∴ CD⊥面A′BD
∴空间四面体 A′BCD 的体积为 VC-A′BD =1
3×2×1
2×2×2×sin120°=2 3
3.6分……………………
页6共·页2第·案答考参学数
(2)∵ CD⊥面A′BD,∴ 面A′BD⊥面BCD,取BD 中点 O,连接 OA′,由于 A′B =A′D,∴ A′O⊥BD,
而面 A′BD∩面BCD =BD,∴ A′O⊥面BCD
故可取如图所示 O为坐标原点,过点 O与DC 平行的直线为 x轴,OD
→,OA′
→方向为 y轴,z轴,建
立空间直角坐标系,
则B0,-3 ,0
( )
,A′ 0,0,1
( ) ,D0, 3 ,0
( )
,C2, 3 ,0
( )
∴BA′
→=0, 3 ,1
( )
,A′D
→=0, 3 ,-1
( )
,BC
→=2,2 3 ,0
( )
设面 A′BC 的法向量 n
→=x,y,z
( )
∴n
→·BA′
→=0
n
→·BC
→=0
ì
î
í
ï
ï
ï
ï
即3y+z=0
2x+2 3 y=0
{
令y= -1,可得 x=3 ,z=3
即n
→=3 ,-1, 3
( )
,
直线 A′D 与平面 A′BC 所成角为 θ,θ∈ 0, π
2
é
ë
ê
êù
û
ú
ú
∴ sinθ=cos〈A′D
→,n
→〉=2 3
2×7=21
712 分…………………………………………………………
20.(本小题满分 12 分)
解:(1)由题意知:甲比乙多得 13 分的情况包含:
A:甲四道全对;乙一道全对,一道部分选对,两道选错,即甲得 20 分,乙得 7分.
B:甲三道全对,一道部分选对;乙两道部分选对,两道选错,即甲得 17 分,乙得 4分.
C:甲三道全对,一道选错;乙一道部分选对,三道选错,即甲得 15 分,乙得 2分.
P A
( ) =1
2
( )
4
×C1
4×1
6×C1
3×1
2×1
3
( )
2
=1
144.
P B
( ) =C3
4×1
2
( )
3
×1
4×C2
4×1
2
( )
2
×1
3
( )
2
=1
48.
P C
( ) =C3
4×1
2
( )
3
×1
4×C1
4×1
2
( )
×1
3
( )
3
=1
108.
P=P A
( ) +P B
( ) +P C
( ) =1
27.4分……………………………………………………………………
(2)若为甲出方案.
则甲可能的选项个数为:1,2,3.
记A1表示选 1个选项的得分,则期望为 E A1
( ) =2.
页6共·页3第·案答考参学数
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