河北省保定市2022-2023学年高三上学期期末考试数学答案

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2022——2023 学年度第一学期高三期末调研考试数学试题答案
一、1—8．DBACA，CDA
二、9—12．ABC， CD， CD， BCD
三、 13．4， 14．－，
15．3；0，(第一个空 2分，第二个空 3分） 16．5
四、17.
解：（1）在 2Sn＝3an－3中令 n＝1，得 a1＝3，……1分
2∵Sn＝3an－3，∴当 n＞1时，2Sn－1＝3an－1－3，
两式相减得 2an＝3an－3an－1，∴an＝3an－1， ……3分
∴数列{an}是以 1为首项，以 3为公比为的等比数列，
∴an＝3n． ……4分
（2）∵bn＝3n，∴数列{an}中的项都在数列{bn}中．
数列{an}前5项：3，9，27，81，243 在数列{bn}前105 项中．这五项和为 363……6 分
{bn}前105 项的为数列{bn}前105 项为 3，6，9，…，27，…81，…，243，…，315，它
们的和为 105×3＋105×52×3=16695……8 分
所以数列{cn}的前 100 项和为数列{bn}前105 项的和减去 3、9、27、81、243 的和，
得：105×3＋105×52×3－363＝16 332． ……10 分
18．
解：（1）∵2CD·sinA＝b·sin∠ACB，由正弦定理 ……1分
得2CD·a＝b·c， ……2分
∴CD＝c；……4分
（2）∵AD＝DB，∴CD＝CA＋CB， ……6分
两边平方得，4(CD)2＝(CA)2＋(CB)2＋2CA·CB，
即4c2＝b2＋a2＋2ab·， ……8分
化简得：5c2＝2a2＋2b2． ……10 分
∵b＝2a，∴c2＝2a2． ……11 分
∴cos∠ACB＝＝……12 分
19．
解：（1）设 AC 与DM 相交于点 O，∵矩形 ABCD 中AB＝2，AD
＝ ， M为AB 中点，∴AD∶DC ＝MA∶AD ， ∴ △ ADC∽△MAD ，∴∠DCA ＝
∠ADM，∵∠ACD＋∠DAC＝90°．
∴∠ADM＋∠DAC＝90°，∴∠DOA＝90°，∴DM⊥AC．……2分
由折叠可知 PO⊥AC，OM⊥AC，∵PO∩OM＝O，
∴AC⊥平面 POM， ……3分
∵PM 在平面 POM 内，∴AC⊥PM．
∴PM 与AC 所成的角为 90°……4 分
（2）由（1）知，PO⊥AC，OM⊥AC，
∴P—AC—B所成角为∠POM＝60°……5 分
PO＝，OM＝，可知 PM＝1，……6分
又∵AM＝1，PA＝，∴PM⊥AB，……7分
方法一：∵M为AB 中点，∴PB＝PA＝，∴PA⊥PB，……8分
又∵PA⊥PC，∴PA⊥平面 PBC，……10 分
∴∠ABP 即为 AB 与平面 PBC 所成的角，……11 分
∵∠ABP＝45°，∴AB 与平面 PBC 所成的角为 45°．……12 分
方法二：PM⊥AB,由（1）知 AC⊥PM．AC
与
AB
交与
A
点
∴PM⊥平面 ABC，……8分
取AC 中点 E，连接 ME，则 ME∥BC，∴ME⊥AB，
以M为坐标原点，分别以 ME，MA，MP 所在直线为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系 M—xyz，……9分
∴A(1 ，0，0) ，B(－1，0，0) ，C(－
1，，0)，P(0，0，1)，∴BA＝(0，2，0)，BC＝(，0，0)，BP＝(0，1，1)
∴平面 PBC 的法向量 m＝(0，1，－1)，……10 分
设AB 与平面 PBC 所成的角为 α，
则sinα＝BABA＝，……11 分
∴AB 与平面 PBC 所成的角为 45°． ……12 分
20．
解：（1）∵3＋x＋21+35＋33＝100，∴x＝100－(3＋21＋35＋33)＝8，……1分
∵2＋6＋16＋y＋16＝100×＝60，∴y＝60－(2＋6＋16＋16)＝20，……2分
（2）由题意可知，X的取值可能为 0，1，2，∵这 100 位学生学时在[30，60）的大四学
生为 8人，在[40，50）的大四学生为 2人， ……3分
P(X＝0)＝
2
6
2
8
C
C
＝＝，P(X＝1)＝
1 1
6 2
2
8
C C
C
＝＝，P(X＝2)＝
2
2
2
8
C
C
＝＝，
随机变量 X的概率分布列如表为：
X012
P
……6 分
随机变量 X的数学期望为 0×＋1×＋2×＝ ……7分
（Ⅲ）设两个年级共有 m人，A＝{大三大四中任选一学生一学年体育课程完成学时位于
区间[70，80]}，B＝{大三大四中任选一学生体育课程选的乒乓球}，……8分
则由条件概率公式得 P(B|A)＝ ……9分
＝ ……11 分
＝0.515 625≈0.515 6
即该生选乒乓球的概率约为 0.5156．……12 分
21．解：（1）将 y＝kx＋4代入＋＝1，得＋＝1，
整理得(2k2＋1)x2＋16kx＋16＝0……①．……1分
因为 M是椭圆与直线 l的唯一公共点，
所以(16k)2－4×16×(2k2＋1)＝0，得 2k2＝1，……2分
∴k＝或 k＝－．将 k＝代入方程①解得 x＝－2，代入 y＝kx＋4得y＝2；
将k＝－代入方程①得 x＝2，代入 y＝kx＋4得y＝2．
∴点M为(－2，2)或(2，2)． ……4分
（2）（ⅰ）将 y＝kx＋m代入＋＝1，得＋＝1，
整理得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2(m2－8)＝0……②．
因为 M是椭圆与直线 l的唯一公共点，
所以(4km)2－4×2(2k2＋1)(m2－8)＝0，即 m2＝16k2＋8……③．……5分
方程②的解为 x＝－，将③式代入 x＝－，得 x＝－，
将x＝－ 代入 y＝kx＋m，得 y＝＝，
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