2023届江苏省扬州市高三考前调研测试 数学答案

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1
扬州市 2023 届高三考前调研测试
数学参考答案
1．B 2．A 3．C 4．C 5．B 6．D 7．C 8．A
9．ABD 10．AC 11．ACD 12．BC 13．1 14．
( 2 2)，
15．
10π
16．
1yx
或
1
y x
e
17．【解析】（1）若选择条件①：
2 3 3
nn
Sa
11
2 3 3
nn
Sa

 
，则
11
2 2 3 3
n n n n
S S a a

 
即
， ……………………3分
令
1n
，则
11
2 3 3Sa
，解得
130a
13
n
n
a
a

{}
n
a
是以
3
为首项，3为公比的等比数列
3n
n
a
……………………5 分
若选择条件②：
1 3 1 3
3,log log 1
nn
a a a
 
 
3
log n
a
是以
31
log 1a
为首项，1为公差的等差数列
 
3
log 1 1 1
n
a n n  
……………………3分
3n
n
a
……………………5分
（2）
1
3 9 3
3
nn
n
nn
ba


……………………6分
111
1 3 3 7 2
3 3 3
nn n n n
n n n
bb

 
 
……………………7 分
当
1
1 3, 0
nn
n b b
 
，即
1 2 3 4
b b b b  
；
当
1
4, 0
nn
n b b
 
，即
4 5 6 7
b b b b  
； ……………………9 分
当
04n
时，
0
nn
bb
对
*nN
恒成立． ……………………10 分
18．【解析】（1）由题意得：
12 2 20 32 100m   
，解得
18m
． ……………………2 分
故平均数为
1(150 12 250 18 350 20 450 32 550 18) 376
100      
． ……………………4 分
（2）由题意，
376
，且
266 376 110

 
，
596 376 220 2

 
，
故
1
( 596) ( 2 ) (1 0.954) 0.023
2
P X P X

  
，所以“优质群”约有
1000 0.023 23
个；
11
(266 596) ( 2 ) 0.683 0.954 0.8185
22
P X P X
 
   
，
所以“一级群”约有
1000 0.8185 818.5 819  
个； ……………………9 分
所以需要资金为
23 1000 819 200 186800  
，
故至少需要准备
186800
元． ……………………12分
19．【解析】（1）
2 2 2
sin 2sin 2sinC B A
在△ABC 中，由正弦定理得
2 2 2
22c b a
………………2 分
2 2 2 2 cosb a c ac B  
2 2 2 2 2
2 2 2 2 4 cosc a b a c ac B 
4 cosc a B
………………4 分
（2）
在△ABC 中，由正弦定理得：
sin 4sin cosC A B
(显然角
B
为锐角)
在△ABC 中，
 
sin sinC A B
sin cos cos sin 4sin cosA B A B A B 
cos sin 3sin cosA B A B
角
B
为锐角
角
A
也为锐角
tan 3tanBA
……………………8 分
AD BD
B BAD A CAD    
2
CAD B A  
……………………9 分
 
tan tan
tan tan 1 tan tan
BA
CAD B A BA
由（1）可知
tan 3tanBA
，
π
0, 2
A


2
2tan
tan 1 3tan
2 2 3
13
1
3tan 2 3tan
tan tan
A
CAD A
AA
AA
 
……………………11分
当且仅当
13tan
tan A
A
，即
3π
tan ,
36
AA
时取等号．
此时
DAC
的最大值为
π
6
． ……………………12分
20．【解析】（1）在平行六面体
1 1 1 1
ABCD A B C D
中，
1 1 1
ABC A B C
是三棱柱，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
21 2
33
B ACC A ABC A B C ABCD A B C D
V V V
 
 
， ………………………………2 分
设点
B
到平面
11
ACC A
的距离为
d
，则
1 1 1 1
11
62
33
B ACC A ACC A
V S d d
 
，所以
1d
，
即点 B到平面
11
ACC A
的距离为 1． ………………………………4 分
（2）在
ABCD
中，
2, 60AB AD BAD  
，所以
ABCD
是菱形，连接
BD
交
AC
于
O
，则
1BO
，
由（1）知点 B到平面
11
ACC A
的距离为 1，所以
BO
平面
11
ACC A
． ………6 分
设点
1
A
在直线
AC
上射影为点
H
，
11 11
2 3 6
ACC A
S AC A H A H 
，
则
13AH
，且
1
BO A H
，
2 2 2 2
11 ( 6) ( 3) 3AH AA A H  
，
所以
O
和
H
重合，即
1
AO AO
． ………………………8 分
以
O
为坐标原点，
1
,,OA OB OA
分别为
x
轴，
y
轴，
z
轴，建立空间直角坐标系，
则
1
(0,1,0), ( 3,0,0), (0, 1,0), (0,0, 3)B A D A
，
根据
11
( 3,0, 3)AA DD  
，
( 3,1,0)AB DC  
，则
1( 3, 1, 3),D
1( 3, 2, 3)BD  
，设平面
11
CC D D
的一法向量为
( , , )n x y z
，
则
13 3 0
30
DD n x z
DC n x y
 
 
，取
1x
，则
(1, 3,1)n
， ………………10 分
设直线
1
BD
与平面
11
CC D D
所成角为
，则
1
1
1
3 2 3 3 6
sin | cos , | | | | | 5
| || | 10 5
BD n
BD n BD n
 
 
，
所以直线
1
BD
与平面
11
CC D D
所成角正弦值为
6
5
． ………………12 分
21．【解析】（1）
2
2 2 2 2
, 3 2, 3, 1
b
a b c a c a b c
a
 
椭圆 C的标准方程为
22
1
43
xy

， ………………2分
不妨取
33
(1, ), (1, ), ( 2,0)
22
P Q A
，则
3 5 3
,
22
AP PF
；
因为△APQ 中，
AP AQ
，所以△APQ 的内心在 x轴，设直线 PT 平分
APQ
，交 x轴于 T，则 T为△APQ
D
C
B
A
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