河南南阳市第一中学校2022-2023学年高二上学期第三次月考数学试卷 PDF版含解析

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南阳一中 2022 年秋期高二年级第三次月考
数学学科试题
一、单选题(共 60 分)
1．在空间直角坐标系O xyz
中，点
 
1,2,3A与点
 
1, 2,3B 
（ ）
A．关于原点对称 B．关于 xOy 平面对称
C．关于 y轴对称 D．关于 z轴对称
2．已知
 
2 ,1,3 , 1, 2 ,9a x b y  
 
，如果 / /a b
，则 x y （ ）
A．4
3
B．0 C．4
3D．—1
3．已知直线 l经过点
 
2,3,1A，且
 
1,0,1n
是l的方向向量，则点
 
4,3,2P到l的距离为（ ）．
A．1
2B．3 2
2C．2
2D．2
4．已知向量
 
2, 1, 2a 
，
 
1,2,3b
，则向量 b
在向量 a
上的投影向量为（ ）
A．4 2 2
, ,
3 3 3
 
 
 
  B．2 1 2
, ,
3 3 3
 
 
 
 
C．4 2 4
, ,
3 3 3
 
 
  D．2 1 2
, ,
3 3 3
 
 
 
5．某省新高考采用“3 1 2  ”模式：“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考
生须在物理、历史科目中选择 1个科目；“2”为再选科目，考生可在思想政治、地理、化学、生物 4个科目中选
择2个科目．已知小明同学必选化学，那么他可选择的方案共有（ ）
A．4种B．6种C．8种D．12 种
6．如图，已知四棱锥
P ABCD
的底面
ABCD
是边长为 4的菱形，且
3
DAB
 
，
PD
底面
ABCD
，若点
D
到平面
PAC
的距离为
2
，则
PD
（ ）
A．
B．
2
C．1 D．2
7．如图，在平行六面体
1 1 1 1
ABCD A B C D
中，
AC
与
BD
的交点为
M
，若
1 1
C M x AB y AD z AA 
 
，则
 
, ,x y z
（ ）
A．
1 1
, ,1
2 2
 
 
 
B．
1 1
, ,1
2 2
 
 
 
C．
1 1
, , 1
2 2
 
  
 
 
D．
1 1
, ,1
2 2
 
 
 
 
8．已知
 
, 4,1a x
，
 
2, , 1b y 
，
 
3, 2,c z 
，a b∥
，
b c
 
，则 +a c
与+b c
夹角的余弦值为（ ）
A．2
19
B．2
19 C．2 38
19 D．2 38
19
9．已知空间向量 a
，b
，且
2AB a b 
 
，
5 6BC a b 
 
，7 2CD a b 
，则一定共线的三点是（ ）
A．、 、A B C B．B C D、 、 C．A B D、 、 D．A C D、 、
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10．阅读材料：空间直角坐标系O xyz
中，过点
 
0 0 0
, ,P x y z 且一个法向量为
 
, ,n a b c
的平面
的方程为
 
0 0 0 0a x x b y y c z z ，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面
的方程为 3 5 7 0x y z   ，直
线l是两平面 3 7 0x y 与4 2 1 0y z   的交线，则直线 l与平面
所成角的正弦值为（ ）
A．10
35 B．7
5C．7
15 D．14
55
11．正方体
1 1 1 1
ABCD A B C D
中，
E
、
F
、
G
、
H
分别为
1
CC
、
BC
、
CD
、
1
BB
的中点，
则下列结论不正确的是（ ）
A．
1
B G EF
B．平面
AEF
平面
1 1 1
AA D D AD
C．
1//A H
平面
AEF
D．向量
1
A B
uuur
与向量
1
AD
uuur
的夹角是 60°
12．如图，在四棱锥
P ABCD
中，
PD
底面
ABCD
，底面
ABCD
为矩形，
3, 4,PD DC AD M 
是线段
PA
的中点，
N
是线段
PC
上一点（不与
两点重合），
且
PN PC
 
．若直线
MN
与
BD
所成角的余弦值是
2 21
21
，则
（ ）
A．1
2B．1
3C．1
4D．1
5
二、填空题(共 20 分)
13．已知 A B C， ， 三点不共线，O为平面 ABC 外一点，若向量 1 1
= + +
3 2
OP OA OB OC
  
，且点 P与A B C， ， 共面，
则实数
______．
14．把标号为 1，2，3，4的四个小球放入标号为 1，2，3，4的四个盒子，每个盒子只放一个小球，则 1号球和
2号球都不放入 1号盒子的方法共有______种．
15．如图，在平行六面体
1 1 1 1
ABCD A B C D
中，
12AB AD AA 
，
1 1 60A AB A AD  
，
90BAD
，则
1
AC
的长为
16．如图所示，三棱锥
V ABC
的侧棱长都相等，底面
ABC
与侧面
都是以
AC
为斜边的等腰直角三角形，
E
为线段
AC
的中点，
F
为直线
AB
上的动点，
若平面
与平面
所成锐二面角的平面角为
，则
cos
的最大值为
三、解答题(共 70 分)
17、(10 分)已知 a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),a∥b,b⊥c,
求:(1)a,b,c;(2)a+c与b+c所成角的余弦值.
试卷第 3页，共 4页
18、(12 分)已知向量 a=(1,-3,2),b=(-2,1,1),点 A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).
(1)求|2a+b|;
(2)在直线 AB 上,是否存在一点 E,使得OE
⊥b?(O 为原点)。若存在，求出 E 点，若不存在，说明理由。
19、(12 分)如图，在直三棱柱
1 1 1
ABC A B C-
中，
AB AC
，
2AB AC 
，
14AA
，
点
D
是
BC
的中点.
(1)求异面直线
1
A B
与
1
C D
所成角的余弦值
(2)求直线
CD
与平面
1
ADC
所成角的正弦值.
20、（12 分）在如图所示的五面体 ABCDFE 中，面 ABCD 是边长为 2的正方形， AE 面ABCD ，//DF AE ，且
11
2
DF AE ，,M N 分别为 ,CD BE 的中点.
(1) 证明：
//NF
平面
ABCD
；(2)求点
A
到平面
MNF
的距离.
21、(12分)如图所示，已知四棱锥 P ABCD中，四边形 ABCD 为正方形，三角形 PAB 为正三角形，侧面 PAB
底面 ABCD ，
M
是棱 AD 的中点．
（1）求证：
PC BM
； （2）求二面角
B PM C 
的正弦值．
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