2023年河南省五市高三第一次联考数学（理科）试题答案

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２０２３年河南省五市高三第一次联考
数学理科参考答案
一、选择题
１
?
５　ＡＢＤＢＣ　６
?
１０　ＤＣＣＣＤ　１１
?
１２　ＤＡ
二、填空题
１３．－ｘ
５
　　１４．
槡
７　　１５．槡
－１＋ １３
２　　１６．０
三、解答题
１７．解：（１）已知 Ｓ
ｎ是数列｛ａ
ｎ
｝的前 ｎ项和，且 Ｓ
ｎ＝２
ｎ＋１ －１（ｎ
∈Ｎ
），
ｎ＝１时，ａ
１＝Ｓ
１＝２
２－１＝３，１分
!! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !
ｎ
≥２时，ａ
ｎ＝Ｓ
ｎ－Ｓ
ｎ－１ ＝（２
ｎ＋１ －１）－（２
ｎ－１）＝２
ｎ
，
经验证 ｎ＝１时，ａ
１＝３
≠２
１
，∴ａ
ｎ＝
３，ｎ＝１
２
ｎ
，ｎ
≥
{
２
且ｎ
∈Ｎ
；５分
!! ! ! ! ! ! !
（２）证明：若 ｂ
ｎ＝２
ｎ＋１
（ａ
ｎ－１）（ａ
ｎ＋１ －１）
，Ｔ
ｎ是｛ｂ
ｎ
｝的前 ｎ项和，
ｎ＝１时，Ｔ
１＝２
３＜４
３
，６分
!! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !
ｎ
≥２时，ｂ
ｎ＝２
ｎ＋１
（２
ｎ－１）（２
ｎ＋１ －１）
＝２（１
２
ｎ－１
－１
２
ｎ＋１ －１
）， ９分
!! ! ! ! ! ! !
Ｔ
ｎ＝
２
３＋２（１
２
２－１
－１
２
３－１
＋１
２
３－１
＋１
２
４－１
＋…＋１
２
ｎ－１
－１
２
ｎ＋１－１
）＝
４
３－２
２
ｎ＋１－１
＜
４
３
∴Ｔ
ｎ＜４
３
．１２分
!! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !
１８．解：（１）证明：取 ＢＰ中点 Ｍ，连接 ＡＭ，ＣＭ，∵ＡＤ＝２ＡＢ，Ｐ为ＡＤ的中点，
∴ＡＢ＝ＡＰ，∴ＡＭ
⊥ＢＰ，∵△ＢＣＰ为等边三角形，∴ＣＭ
⊥ＢＰ，
∵ＡＭ
∩ＣＭ＝Ｍ，ＡＭ，ＣＭ
面ＡＣＭ，∴ＢＰ
⊥平面 ＡＣＭ，
∵平面 ＡＣＭ
∩平面 ＡＢＰ＝ＡＭ，∴直线 ＡＣ在平面 ＡＢＰ的射影在直线 ＡＭ上，
∴直线 ＡＣ与平面 ＡＢＥＤ所成角为∠ＣＡＭ，则∠ＣＡＭ＝
π
４
，
∵ＡＢ＝ＡＰ＝２，
∠ＢＡＤ＝
π
３
，∴△ＡＢＰ是正三角形，则 ＡＭ 槡
＝ ３，ＢＰ＝２，
∵△ＢＣＰ为等边三角形，ＢＰ＝２，则 ＣＭ 槡
＝ ３，∴在△ＡＭＣ中，由 ＡＭ ＝ＣＭ 槡
＝ ３，
∠ＣＡＭ＝
π
４
，得∠ＡＣＭ＝
π
４
，则∠ＣＭＡ＝
π
２
，∴ＡＭ
⊥ＣＭ，∵ＣＭ
⊥ＢＰ，ＡＭ
∩ＢＰ＝Ｍ，ＡＭ，
ＢＰ
平面 ＡＢＥＤ，
∴ＣＭ
⊥平面 ＡＢＥＤ，∵ＰＥ
平面 ＡＢＥＤ，∴ＣＭ
⊥ＰＥ，∵ＢＰ＝２，在△ＰＤＥ中，ＰＤ＝
）页５共（页１第　案答学数科理三高
ＥＤ＝２，
∠ＰＤＥ＝２
３
π
，∴ＰＥ 槡
＝２ ３，又 ＢＥ＝４，∴ＢＰ
２＋ＰＥ
２＝ＢＥ
２
，∴ＰＥ
⊥ＢＰ，
∵ＣＭ
∩ＢＰ＝Ｍ，∴ＰＥ
⊥平面 ＢＣＰ． ６分
!! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !
（２）由（１）知 ＭＰ，ＭＣ，ＭＡ两两垂直，以 Ｍ为坐标原点，
ＭＡ所在直线为 ｘ轴，ＭＰ所在直线为 ｙ轴，ＭＣ所在直线为 ｚ轴，建立空间直角坐
标系， ７分
!! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !
则Ｃ（０，０，
槡
３），Ｐ（０，１，０），Ａ（
槡
３，０，０），Ｂ（０，－１，０），
∵Ｐ是ＡＤ的中点，∴Ｄ（槡
－ ３，２，０），∵→
ＢＡ＝→
ＥＤ，∴Ｅ（槡
－２ ３，１，０），
∴→
ＰＣ＝（０，－１，
槡
３），
→
ＰＥ＝（槡
－２ ３，０，０），
→
ＰＤ＝（槡
－ ３，１，０），
设平面 ＥＣＰ的法向量 ｎ＝（ｘ，ｙ，ｚ），
则
ｎ·→
ＰＣ＝－ｙ槡
＋ ３ｚ＝０
ｎ·→
ＰＥ 槡
＝－２ ３ｘ
{
＝０
，令 ｚ＝１，得 ｎ＝（０，
槡
３，１）， ９分
!! ! ! ! ! ! ! !
设平面 ＰＣＤ的法向量 ｍ＝（ａ，ｂ，ｃ），
则
ｍ·→
ＰＣ＝－ｂ槡
＋ ３ｃ＝０
ｍ·→
ＰＤ 槡
＝－ ３ａ＋ｂ
{
＝０
，取 ａ＝１，得 ｍ＝（１，
槡
３，１）， １１分
!! ! ! ! ! ! !
设平面 ＥＣＰ与平面 ＣＤＰ所成锐二面角的平面角为 θ
，
则平面 ＥＣＰ与平面 ＣＤＰ所成锐二面角的余弦值为：
ｃｏｓ
θ
＝｜ｍ·ｎ｜
｜ｍ｜·｜ｎ｜
＝４
槡
２ ５
＝槡
２ ５
５．１２分
!! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !
１９．解：（１）令 Ｙ表示 １０００袋牛肉干中变质牛肉干的数量，
由题意有 Ｙ～Ｂ（１０００，ｐ），则 Ｅ（Ｙ）＝１０００ｐ，
故Ｅ（Ｘ）＝（１０００－１０００ｐ）（５０－３０）－１０００ｐ×（３０＋５０×３）＝２００００－２０００００ｐ，
由７５００＜Ｅ（Ｘ）＜１００００，有 ７５００＜２００００－２０００００ｐ＜１００００，解得：
１
２０
＜ｐ＜１
１６
，
故当 ７５００＜Ｅ（Ｘ）＜１００００时，ｐ的取值范围为 １
２０
＜ｐ＜１
１６
．６分
!! ! ! ! ! !
（２）对这批牛肉干来说，变质牛肉干不管数量有多少，未变质牛肉干的销售后产
生的利润与变质牛肉干作废物处理后产生的费用是不变的，是否聘请兼职员工来检
查这批牛肉干，产生的费用是工资和给消费者赔付的费用，当 ｐ＝１
２０
时，由（１）知，
）页５共（页２第　案答学数科理三高
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