2023届河南省郑州市高中毕业年级第一次质量检测理科数学答案

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2023 年高中毕业年级第一次质量预测
理科数学 评分参考
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C A C C D A B D C B B B
二、填空题
13.
14.
15 . 16.
三、解答题
17.（1）由题意 （2分）
当 时， ；（3分）
当 时，
两式相减得 ，（4分）
所以 ，当 时也成立.（6分）
（2）根据题意，得 （7分）
所以
（9分）
（12 分）
18. （1）连接 AC、BD 交于 O，以 O为坐标原点，OA、OB、OP 为x，y，z轴建立空间直
角坐标系.
，
（2分）
又 ，得
所以 ，A、M、E、F四点共面，即点 M在
平面 AEF 内.（6 分）
（2），设平面 AEF 的法向量 ，
由 得， ，（8 分）
所以 ，所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .（12
分）
19.（1）由题意知， ， 可能的取值为 0，1，2，3，4，5，（2 分）
， ，
， ，
，
所以 的分布列为
X 0 1 2 3 4 5
P
.（6 分）
（2）设“第四轮点球结束时，乙队进了 4 个球并胜出”为事件 A，
由题意知，甲乙两队比分为 1：4 或 2：4，设“甲乙两队比分为 1：4”为事件 ，“甲乙
两队比分为 2：4”为事件 ，
若甲乙两队比分为 1：4，则乙射进 4 次，甲前三次射进一次，第 4 次未进，
（8 分）
若甲乙两队比分为 2：4，则乙射进 4 次，甲前四次射进两次，
所以 .（10 分）
即在第四轮点球结束时，乙队进了 4 个球并胜出的概率为 .（12 分）
20.（1）由题设得 ，解得 .（3分）
所以 的方程为 .（5分）
（2）设直线 的方程为 ，代入 得
.（6分）
于是 .（7分）
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