2023届河南省五市高三第二次联考（二模）数学（理科）答案

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高三数学（理科）参考答案 第 1页 （共 5 页）
2023 年河南省五市高三第二次联考
数学（理科）参考答案
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况酌情细化给分。
一、选择题：1.A 2.D 3．C 4.B 5.D 6.C 7.C 8.B 9.D 10.C 11.B 12.A
二、填空题：13. 2 14.
10
1
15.
6
323
16. 2
三、解答题：
17.证明：(1)由已知
12 11 nnn aaa
，得
n
na
a
2
1
1
整理为：
1
1 1 1
1 1
n n
a a
 
 
，
1
1n
a
 
 
 
为等差数列，公差
1d
，首项为
；............4 分
所以
 
13 1 2
1n
n n
a 
，整理为：
 
*
1
2
n
n
a n N
n
 
，经检验，符合要求 ............6 分
（2）由（1）得：
 
*
1
2
n
n
a n N
n
 
．
1 2
2
2
n n
T a a a n
，
2
2
4 4 1 1
4
( 2) ( 2)( 3) 2 3
n
Tn n n n n
 
 
 
 
 
，............8 分
，
1 1
4( ).
3 3
n
Sn
即
............12 分
18. 解：（1）因为 BC∥AD，∠ADC＝90°，AB＝BC＝2DE，所以平面四边形 ABCD 为直角梯形．
设AB＝BC＝2DE＝4a，因为∠ABC＝120°．所以在 Rt△CDE 中，
3
2 3 , 4 , tan ,
3
DE
CD a EC a ECD DC
 
所以∠ECD＝30°，又∠ADC＝∠BCD＝90°．
所以∠BCE＝60°，由 EC＝BC＝AB＝4a，所以△BCE 为等边三角形．
又F是EC 的中点，所以 BF⊥EC，又 BF⊥PC，EC，PC
平面 PEC，
EC∩PC＝C，所以 BF⊥平面 PEC，而 BF
平面 ABCE，
故平面 PEC⊥平面 ABCE. ......................6分
高三数学（理科）参考答案 第 2页 （共 5 页）
（2）在直角三角形 PEC 中，PE＝DE＝PF＝
12
2EC a
，取 EF 中点 O，所以 PO⊥EF．
由（1）可知平面 PEC⊥平面 ABCE，平面 PEC∩平面 ABCE＝EC．
∴PO⊥平面 ABCE，以 O为原点，
OC
方向为 y轴建立如图所示的空间直角坐标系． ...........8分
则P(0，0，
3
a)，A（2
3
a，-3a，0），B（2
3
a，a，0），C（0，3a，0），
所以
(2 3 , 3 , 3 ), (2 3 , , 3 ), (0,3 , 3 )PA a a a PB a a a PC a a  
 
，
设平面 PAB 的法向量
( , , )m x y z
，∴
0
0
m PA
m PB
 
 
 
 
，即
2 3 3 3 0
2 3 3 0
ax ay az
ax ay az
 
 
，
令x＝1得
(1,0,2)m
．设直线 PC 与平面 PAB 所成角为θ，
则
| |
sin | || |
m PC
m PC
 
 
 
2 2 2 2
2 3 5
5
1 2 (3 ) ( 3 )
a
a a
 
．
所以直线 PC 与平面 PAB 所成角的正弦值为
5
5
．......................12 分
19.解：（1）
X
可能取值为 0，1，2，3，4，记甲答对某道题的概率为事件
A
，则
 
3
2
3
1
2
1
2
1AP
，
则
3
2
,4~ BX
，
 
4
4
2 1 0,1, 2,3,4
3 3
k k
k
P X K C k
 
 
 
 
，
则
X
的分布列为：
X
0
1
2
3
4
81
1
81
8
8
27
81
32
81
16
则
 
3
8
3
2
4XE
......................6分
（2）记事件
i
A
为“甲答对了
i
道题”，事件
i
B
为“乙答对了
i
道题”，其中甲答对某道题的概率为
1 1 1 (1 )
2 2 2
p p  
，答错某道题的概率为
1 1
1 (1 ) (1 )
2 2
p p  
，
则
1 2
1 2
1 1 1
( ) (1 ) (1 ) (1 )
2 2 2
P A C p p p    
，
2 2
2
1 1
( ) [ (1 )] (1 )
2 4
P A p p  
，
 
16
1
4
12
0
BP
，
 
8
3
4
1
4
3
1
21 CBP
，
所以甲答对题数比乙多的概率为：
2 21 0 0 1 1 0 2 0 2 1
( ) ( ) ( ) ( )P A B B B P A B P A B P A BA A    
=
 
   
8
3
1
4
1
16
1
1
4
1
16
1
1
2
122
2ppp
=
2
5 7 9 3 ,
64 32 64 16
p p  
解得
，
P
高三数学（理科）参考答案 第 3页 （共 5 页）
甲的亲友团助力的概率
P
的最小值为
5
1
．...................... 12 分
20. 解：（1）设
0
(4, )N y
，代入 x2＝2py，得
0
8
yp
，
所以
8
| |MN p
，
0
8
| | 2 2
p p
NF y p
   
．由题设得
8 5 8
2 4
p
p p
 
，
解得
2p 
（舍去）或
2p
，∴C的方程为
24x y
．......................4分
（2）由题知直线 l的斜率存在，设其方程为
6y kx 
，
由
2
6
4
y kx
x y
 
消去
y
整理得
24 24 0x kx  
，
显然Δ＝16k2+96＞0．设 P（x1，y1），Q（x2，y2），则
1 2
1 2
4
24
x x k
x x
 
 
，
抛物线在点
2
1
1
( , )
4
x
P x
处的切线方程为
2
1 1
1
( )
4 2
x x
y x x 
，
令
1y 
，得
2
1
1
4
2
x
xx
，可得点
2
1
1
4
( , 1)
2
x
Rx
，......................7分
由Q，F，R三点共线得 kQF＝kFR，所以
2
2
2
1
2
1
11 1
4
4
2
x
x
x
x
 
，
即
2 2
1 2 1 2
( 4)( 4) 16 0x x x x  
，
整理得
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
( ) 4[( ) 2 ] 16 16 0x x x x x x x x  
，
所以
2 2
( 24) 4[(4 ) 2 ( 24)] 16 16 ( 24) 0k    
，解得
21
4
k
，即
1
2
k 
，
故所求直线 l的方程为
16
2
y x 
或
16
2
y x 
．......................12 分
21. 解 ：（ 1 ） 当
1
2
a 
时 ，
2
1
( ) cos 2
f x x x 
， 则
( ) sinf x x x  
， 设
( ) ( )g x f x 
， 则
( ) cos 1 0g x x  
在
[ , ]
2 2
 
上恒成立，
( )g x
在
[ , ]
2 2
 
上单调递增，又
(0) 0g
，..............2 分
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