2023届河南省创新发展联盟高三下学期模拟考试（二模）数学（理）试题答案和解析
书书书
!高三数学"参考答案!第!
!!!! 页#共"页$理科%
!"#$%&
"#$%
"
高三数学考试参考答案!
理科"
!!&
!#
解析$
本题考查集合的运算%
考查数学运算的核心素养!
因为
"
'!
#
"
(!
#
#
#
)
"#
$
'!
#
"
*
#
#
#
+
"#
所以
"
$
$
'$
(!
#
+
%
!
)!,
!#
解析$
本题考查复数的有关概念%
考查数学运算的核心素养!
因为$
!-).
%
%
'!-
&
.
#
所以
%
'!
#
&
')
%
')
#
所以
"
%
(
&
.
"槡 槡
' !-+' /!
0!1
!#
解析$
本题考查解三角形的知识%
考查数学运算的核心素养!
因为
"
-
$
'
/
!
2#
所以
'
'!
2#
由
%
3.4
"
'
(
3.4
'
#
得0
3.4
"
'+
#
所以3.4
"
'0
+!
+!5
!#
解析$
本题考查函数的图象和性质%
考查逻辑推理与直观想象的核心素养!
)
$
#
%
的定义域为!
#
"
#
%
*
"#
因为
)
$
(
#
%
'$
(
#
-!
#
%
3.4
$
(
#
%
'$
#
(!
#
%
3.4
#
'
)
$
#
%#
所以
)
$
#
%
为偶函数#
排除 &
#
,!
当
#
&$
*
#
!
%
时#
)
$
#
%
#
*
#
故选 5!
/!,
!#
解析$
本题考查统计的知识%
考查数据分析与数学运算的核心素养!
由雷达图可知#
+**米跑项目中#
甲的得分比乙的得分高#
5错误&
甲各项得分的波动较大#
乙
的各项得分均在$
2**
#
6**
'
内#
波动较小#
&错误&
在铁饼项目中#
乙比甲水平高#
1错误&
甲的
各项得分的极差约为!***(+"*'/0*
#
乙的各项得分的极差小于)**
#
,正确!
2!,
!#
解析$
本题考查线性规划%
考查数学运算与直观想象的核心素养!
*
-)
#
-0
表示可行域内的点$
#
#
*
%
与$
(0
#
()
%
连线所在直线的斜率#
画出可行域$
图略%
知#
经过
点$
(!
#
)
%
与$
(0
#
()
%
的直线斜率最大#
且最大值为)
#
经过点$
*
#
(!
%
与$
(0
#
()
%
的直线
斜率最小#
且最小值为!
0#
所以
*
-)
#
-0
的取值范围为(
!
0#
)
'
!
"!&
!#
解析$
本题考查球面与柱体侧面的交线长度%
考查直观想象与数学运算的核心素养!
设
+
!为
"
!
$
!的 中 点#
连 接
'
!
+
!$
图 略 %#
可 知
'
!
+
!槡
' 0
#
'
!
+
!'平 面
"$$
!
"
!#
由
$
槡
07
0%
)($
槡
0
%
槡)'槡
) 0
0#
得题中所求交线即以
+
!为圆心#槡
) 0
0为半径的圆弧#
设该圆弧与
""
!#
$$
!分别相交于点
,
#
-
#
经计算可知(
,+
!
-
'
)
!
0#
故交线长
.
'槡
) 0
08
)
!
0'槡
+ 0
!
7!
6!1
!#
解析$
本题考查古典概型%
考查数学运算的核心素养!
画出树状图#
甲)
乙)
甲)
*
+
,
乙
丙
丙)
*
+
,
*
+
,
甲
乙
丙)
甲)
*
+
,
乙
丙
乙)
*
+
,
*
+
,
*
+
,
甲
丙
#
可知所求概率为)
6'!
+!
!高三数学"参考答案!第)
!!!! 页#共"页$理科%
!"#$%&
"#$%
"
7!1
!#
解析$
本题考查三角函数的性质%
考查数学运算的核心素养!
由题意知3.4
$
!
#
(!
2%
'槡
0
)在(
*
#
0
!
+'
内有且仅有两个解!
因为
#
&(
*
#
0
!
+'#
所以
!
#
(!
2&
(
(!
2#
0
!
!
+(!
2'#
则需
)
!
0-
0
!
!
+(!
2#
"
!
0#
解得
!*
7-
!
#
!*
0!
!*!5
!#
解析$
本题考查双曲线的性质%
考查逻辑推理与数学运算的核心素养!
由已知得
"
/
!
0
"
"
/
)
0
"
'/
0#
因为
10
平分(
/
!
1/
)#
所以
"
1/
!
"
"
1/
)
"
'
"
/
!
0
"
"
/
)
0
"
'/
0#
所以
&
)
%
-)
%
&
)
%
'/
0#
整理得
&
)'0
%
)#
由
(
)(
%
)'0
%
)#
得
(
)'+
%
)#
所以
2
'
(
%
')!
!!!&
!#
解析$
本题考查新定义以及函数的性质%
考查逻辑推理的核心素养!
对于"#
易知
)
$
#
%
为奇函数#
所以
)
$
#
%
可以是中心为原点且边长为)的正方形的)
优美函
数*#
故"正确!
对于##
令)
#
(!
2'!
)-
3
!
$
3
&
!
%#
得
#
'!
0-
3
!
)$
3
&
!
%#
所以
)
$
#
%
'+9:3
$
)
#
(!
2%
-0图
象的对称中心为$
!
0-
3
!
)#
0
%$
3
&!
%#
故以$
!
0-
3
!
)#
0
%$
3
&!
%
为中心的正方形都能被函数
)
$
#
%
'+9:3
$
)
#
(!
2%
-0的图象平分#
即
)
$
#
%
'+9:3
$
)
#
(!
2%
-0可以同时是无数个正方
形的)
优美函数*#
故#错误!
对于$#
令
4
$
#
%
';4
$+
#
)
槡-!()
#
%#
易知
4
$
#
%
为奇函数!
又因为
)
$
#
%
的
图象是由
4
$
#
%
的图象向下平移一个单位长度得到的#
所以
)
$
#
%
图象的对称
中心为$
*
#
(!
%#
故以$
*
#
(!
%
为中心的正方形都能被
)
$
#
%
';4
$+
#
)
槡-!(
)
#
%
(!的图象平分#
故$正确!
对于%#
如图所示#
可知%错误!
!)!&
!#
解析$
本题考查逻辑推理%
考查数学建模的核心素养以及分类讨论的数学思想!
因为)*
#
)0
#
所以至少要进行一次)
乘以)
*
的运算!
"若一共只有一次)
乘以)
*
的运算!
设做了
3
次)
减去0
*
的运算之后#
再)
乘以)
*#
再做了
5
次)
减去0
*
的运算后#
得数为$
)*(
0
3
%
8)(0
5
')0
#
即有2
3
-0
5
'!"
#
其中
3
#
5
&"
#
显然无非负整数解!
#若一共只有)次)
乘以)
*
的运算!
设做了
3
次)
减去0
*
的运算之后#
再)
乘以)
*#
再做了
5
次)
减去0
*
的运算之后)
乘以)
*#
再做
了
6
次)
减去0
*
的运算后#
得数是($
)*(0
3
%
8)(0
5
'
8)(0
6
')0
#
即有+
3
-)
5
-
6
'!7
#
3
#
5
#
6
&"!
当
3
'+时#
5
'!
#
6
*
+
,'!
或
5
'*
#
6
'0
*
+
,&
当
3
'0时#
5
-
6
.
)
5
-
6
)'"
)&
当
3
-
)时#
5
-
6
.
)
5
-
6
)/
!!
)!
所以
3
-
5
-
6
的最小值为2
#
即至少运算6次#
过程为($
)*(0(0(0(0
%
8)(
!高三数学"参考答案!第0
!!!! 页#共"页$理科%
!"#$%&
"#$%
"
0
'
8)(0')0!
$若一共有0次或0次以上)
乘以)
*
的运算#
总运算次数显然不止6次!
所以至少运算6次!
!0!/
!#
解析$
本题考查平面向量的垂直%
考查数学运算的核心素养!
因为
!
-
"
'$
6
(0
#
0
%#$
!
-
"
%
'
"
#
所以0
$
6
(0
%
(08)'*
#
解得
6
'/!
!"
#
$
%&
'
#!
"!
$!
!
!
(
!+!
+
/!#
解析$
本题考查立体几何初步的知识%
考查直观想象的核心素养!
在棱
'+
#
'
!
+
!上分别取点
-
#
,
#
使得
'-
'!
0
'+
#
'
!
,
'!
0
'
!
+
!#
连接
',
#
-7
#
可知
$/
0
',
0
-7
#
则(
+7-
为直线
+7
与
$/
所成的角!
设
"$
'0
#
在1
+7-
中#
易 得
+7
槡
' !*
#
-7
槡
' !*
#
+-
')
#
设
(
+7-
'
"
#
则3.4
"
)'!
槡
!*#
从而9:3
"
'!()8!
!*
'+
/!
!/!
#
)')
*
&
0
)$
答案不唯一#
只要*
#
8
#
)
#
且所求距离为+
)(
8
)即可%
!#
解析$
本题考查抛物
线的定义及性质%
考查直观想象的核心素养!
易知过焦点的弦中#
通径最短#
所以)
8
#
+
#
解得*
#
8
#
)!
设该弦所在的直线与
'
的交点分
别为
"
#
$
#
则弦
"$
的中点到
#
轴的距离为
"
"$
"
)(
8
)!
取
8
'!
#
则抛物线
'
的方程为
#
)'
)
*
#
此时弦
"$
的中点到
#
轴的距离为0
)!
!2!
"$%!#
解析$
本题考查不等关系%
考查逻辑推理与数学运算的核心素养!
因为
#
)'
*
0#
!
#
所以
*
'
#
)
0#
!
#
所以*
#
#
#
*
#
!
#
"正确#
#错误&
令
4
$
#
%
'
"
*
(
#
"
'
*
(
#
'
#
)
0(
#
#
则
4
9
$
#
%
')
0
#
(!
0(!
#
当*
#
#
#6
)"
时#
4
9
$
#
%
.
*
#
4
$
#
%
单调递增#
当
#
.6
)"
时#
4
9
$
#
%
#
*
#
4
$
#
%
单调递减#
所以
4
$
#
%
<=>'
4
$
6
)"
%
'+
)"
#
$正确&
令
:
$
#
%
'
"
*
)(
#
)
"
'
*
)(
#
)'
#
+
0(
#
)#
则
:9
$
#
%
'+
0
#
!
0()
#
#
可知当*
#
#
#槡
) 2
7时#
:
$
#
%
单调递增#
当
#
.槡
) 2
7时#
:
$
#
%
单调递减#
所以
:
$
#
%
<=>'
:
$槡
) 2
7%
'+
)"
#
%正确!
!"!
解+$
!
%
设!
%
;
"
的公差为
<
#
因为
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)'+
#
)
%
+(
%
/'"
#
所以)
$
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<
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+-0
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%
'"
#
解得
<
'0
#
从而
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!'!
#)分…………………………………
所以
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'0
;
()!0分……………………………………………………………………………
设!
&
;
"
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因为
&
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&
+-
&
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'
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解得
=
')
#/分…………
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&
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)
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#2分………………………………………………………………
所以
&
;
')
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(!!"分………………………………………………………………………………
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