湖南省长沙外国语学校2023-2024学年高二上学期期中数学试题+含解析

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长沙外国语学校 2023 年下学期高二年级期中考试
数 学
命题人：吴逸凡 审题人：付文强
时量：120 分钟 满分：150 分
一、选择题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1．椭圆 的焦点坐标是（ ）
A．B．C．D．
2．若直线 的斜率大于 1，则 的倾斜角的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．“ ”的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
4．已知椭圆 的离心率为 是 的两个焦点， 为 上一点，若 的周长为 ，则椭圆
的焦距为（ ）
A．B．C．D．
5．圆锥的高为 2，其侧面展开图的圆心角为 ，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
6．已知 ，且 ，则 （ ）
A．B．C．D．
7．古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学
发现——圆柱容球定理．如右图，一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，
四周碰边（即圆柱的底面直径和高都等于球的直径），则圆柱的表面积与球的表面积之比为（ ）
A．B．2 C．D．
8．已知 ，点 为直线 上的一点，点 为圆 上的一点，则 的
最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得 5分，有选错的得 0分，部分选对的得 2分）
9．若直线过点 ，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则该直线的一般式方程可能为（ ）
A．B．C．D．
10．已知直线 和圆 ，则（ ）
A．直线 恒过定点 B．存在 使得直线 与直线 垂直
C．直线 与圆 相交 D．直线 被圆 截得的最短弦长为
11．如图，在正方体 中， ，点 分别在棱 和 上运动（不含端点），
若 ，则下列命题正确的是（ ）
A．B． 平面
C．线段 长度的最大值为 1 D．三棱锥 体积不变
12．我们通常称离心率为 的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆 ，
为顶点， 为焦点， 为椭圆上一点，下列条件能使椭圆 为“黄金椭圆”的有（ ）
A．长轴长为 4，短轴长为 B．
C． 轴，且 D．四边形 的内切圆过焦点
三、填空题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分）
13．已知复数 ，则 的虚部为______．
14．从长度为 的 4条线段中任取 3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为______．
15．圆 上点到直线 距离的最小值是______．
16．如图所示，已知椭圆的方程为 ，若点 为椭圆上的点，且 ，则 的
面积是______．
四、解答题（本题共 6小题，共 70 分，其中第 17 题10 分，其它每题 12 分，解答应写出文字说
明、证明过程或演算步骤）
17．已知两圆 和 ．
（1）求两圆的公共弦所在直线的方程；
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