湖南省长沙市长郡中学2024届高三上学期开学考试(暑假作业检测)数学试题 含解析

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2024 届高三暑假作业检测试卷
数学
本试卷共 8页.时量 120 分钟.满分 150 分.
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由集合交集运算可得.
【详解】 ，
故选：D
2. 已知 （ 为虚数单位），其中 ， 为实数，则 ， 的值分别为（ ）
A. ，1 B. 1，C. 1，1 D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数
的
乘法运算，及实部等于实部，虚部等于虚部列式求解即可.
【详解】由 ，得 ，得 ，
所以 解得
故选 A.
3. 设P
是
双曲线 上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|=9，则|PF2|等于（
）
A. 1 B. 17 C. 1 或17 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】先求出 P点的位置，再根据双曲线的定义求解.
【详解】对于 ，
，所以 P点在双曲线的左支，则有 ；
故选：B.
4. 为了庆祝中国共产党第二十次全国代表大会，学校采用按比例分配的分层随机抽样的方法从高一 1002 人，
高二 1002 人，高三 1503 人中抽取 126 人观看“中国共产党第二十次全国代表大会”直播，那么高三年级被
抽取的人数为（ ）
A. 36 B. 42 C. 50 D. 54
【答案】D
【解析】
【分析】根据分层抽样，结合抽样比计算即可.
【详解】根据分层抽样的方法，抽样比为 ，
高三年级被抽取的人数为 人.
故选：D.
5. 一个圆锥的侧面展开图是圆心角为 ，弧长为 的扇形，则该圆锥轴截面的面积 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设圆锥的母线长为 l，底面半径为 r，根据侧面展开图是圆心角为 ，弧长为 的扇形，分别由
， ，求解即可.
【详解】设圆锥的母线长为 l，底面半径为 r，
则 ，解得 ，
又 ，解得 ，
所以圆锥的高为 ，
所以圆锥的轴截面的面积是 ，
故选：B
6. 已知 ， ， ， ，则 的值为（
）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可知， ， ，再结合题意可得 ，
，又 ，利用两角差的正弦公式，即可求出结果.
【详解】因为 ，所以 ，
又 ，所以 ；
因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，
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