湖南省长沙市明德中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题答案

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明德中学 2023 年上学期期中考试
高一数学 参考答案
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B B C D D C C
二、多项选择题：本题共 4小题。每小题 5分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
9 10 11 12
ABD CD BCD BCD
三、填空题：（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。把答案填在答题卡的相应位置）
13．0 14．
15．3 16．
四、解答题：（本大题共 6小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
解答写在答题卡上的指定区域内）
17．【分析】
（1）由题意可知，该圆锥的底面半径 r=3，母线 l=5，从而可求出锥的表面积，
（2）先求出大圆锥的高，从而可求出小圆锥的高，进而可得圆台的体积等于大圆锥的体积
减去小圆锥的体积
【解析】
（1）由题意可知，该圆锥的底面半径 r=3，母线 l=5．
∴该圆锥的表面积 S=πr2+πrl=π×32+π×3×5=24π．
（2）在 Rt△POB 中， ，
∵O'是PO 的中点，∴PO'=2．
∴小圆锥的高 h′=2，小圆锥的底面半径 ，
∴截得的圆台的体积 ．
18．（1） （2）
19．【分析】
法一：
（1）推导出 PO⊥AC，AC⊥BD，从而 AC⊥面PBD，由此能证明面 ACE⊥面PBD．
（2）连接 OE，则 CE 在面 PBD 内的射影为 OE，∠POE 是二面角 P﹣AC﹣E的平面
角，由此能求出二面角 P﹣AC﹣E的余弦值．
法二：
（1）以点 O为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明面 ACE⊥面PBD．
（2）求出平面 PAC 的一个法向量和平面 ACE 的一个法向量，利用向量法能求出二面角
P﹣AC﹣E的余弦值．
【解析】
解法一：
证明：（1）∵PO⊥面ABCD，∴PO⊥AC，
∵在菱形 ABCD 中，AC⊥BD，且 BD∩PO＝O，
∴AC⊥面PBD………（4分）
故面 ACE⊥面PBD………（6分）
解：（2）连接 OE，则 OE＝面 ACE∩面PBD，
故CE 在面 PBD 内的射影为 OE，
∵CE⊥PD，∴OE⊥PD，………（8分）
又由（1）可得，AC⊥OE，AC⊥OP，
故∠POE 是二面角 P﹣AC﹣E的平面角，………（10 分）
菱形 ABCD 中，AB＝2，∠ABC＝60°，
∴， ，
又PO＝2，∴ ，
∴，
∴即二面角 P﹣AC﹣E的余弦值为 ………（12 分）
解法二：
证明：（1）菱形 ABCD 中，AC⊥BD，又 PO⊥面ABCD，
故可以以点 O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，………（1分）
由AB＝2，∠ABC＝60°可知相关点坐标如下：
………（3分）
则平面 PBD 的一个法向量为 ………（4分）
因为 所以 故 AC⊥面PBD………（5分）
从而面 ACE⊥面PBD………（6分）
（2）设 ，则
∵CE⊥PD，∴ ，故 ，
可得： ，………（8分）
平面 PAC 的一个法向量为 ，
设平面 ACE 的一个法向量 ，
则 ，取 z＝2，得 ，………（10 分）
∴，………（11 分）
即二面角 P﹣AC﹣E的余弦值为 ．………（12 分）
20．【分析】
（1）λ＝1时，推导出四边形 BEDQ 是平行四边形，从而 BE∥QD，进而 BE∥平面 A1DQ．
再推导出 EF∥平面 A1DQ．由此能证明平面 BEF∥平面 A1DQ．
（2）连接 AQ，BD 与FQ，推导出 BD⊥平面 A1AQ．从而 AQ⊥BD．由 AQ⊥BD，得 AB2＝
AD•BQ．由 AB＝1，AD＝2，求出 ．
【解析】
（1）λ＝1时，Q为BC 中点，因为 E是AD 的中点，
所以 ED＝BQ，ED∥BQ，则四边形 BEDQ 是平行四边形，
所以 BE∥QD．
又BE⊄平面 A1DQ，DQ⊂平面 A1DQ，
所以 BE∥平面 A1DQ．
又F是A1A中点，所以 EF∥A1D，
因为 BF⊄平面 A1DQ，A1D⊂平面 A1DQ，
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