湖南省长沙市第一中学2023届高三月考卷（七）丨数学

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长沙市一中 2023 届高三月考试卷（七）
数学
时量：120 分钟 满分：150 分
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合
 
2 1 3M x x  
，
 
N x x a 
，若
M N N 
，则实数 a的取值范围为（ ）
A.
1, 
B.
2, 
C.
,1
D.
 
,1
2. 若实数 x，y满足
( i)(3 i) 2 4ix y  
，则
xy
（ ）
A.
B. 1 C. 3 D.
3
3. 1947 年，生物学家 Max Kleiber 发表了一篇题为《body size and metabolicrate》的论文，在论文中提出了
一个克莱伯定律：对于哺乳动物，其基础代谢率与体重的
3
4
次幂成正比，即
3
4
0
F c M
，其中 F为基础代
谢率，M为体重．若某哺乳动物经过一段时间生长，其体重为原来的 10 倍，则基础代谢率为原来的（参考
数据：
410 1.7783
）（ ）
A. 5.4 倍B. 5.5 倍C. 5.6 倍D. 5.7 倍
4. 已知函数
 
2
sinf x x x 
，设
1
x
，
2
x R
，则
 
1 2
f x f x
成立的一个必要不充分条件是（ ）
A.
1 2
x x
B.
2 1
x x
C.
1 2 0x x 
D.
1 2
x x
5. 如图，圆
 
22
2 1x yM  ：
，点
 
1,P t
为直线
1l x
：
上一动点，过点
P
引圆
M
的两条切线，切
点分别为
,A B
；若两条切线
,PA PB
与
y
轴分别交于
,S T
两点，则
ST
的最小值为（ ）
A.
1
2
B.
2
2
C. 1 D.
2
6. 某旅游景区有如图所示 A至H共8个停车位，现有 2辆不同的白色车和 2辆不同的黑色车，要求相同颜
色的车不停在同一行也不停在同一列，则不同的停车方法总数为（ ）
A. 288 B. 336 C. 576 D. 1680
7. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知过抛物线
24y x
焦点 F的直线与抛物线相交于 A，B两点，以 AF，
BF
为直径的圆分别与 x轴交于异于 F的P，Q两点，若
2PF FQ
，则线段
AB
的长为（ ）
A.
B.
7
2
C.
9
2
D.
13
2
8. 若正实数 a，b满足
a b
，且
ln ln 0a b 
，则下列不等式一定成立的是（ ）
A.
log 0
ab
B.
1 1
a b
b a
 
C.
1
2 2
ab a b 
D.
1 1b a
a b
 
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分.
9. 已知随机变量
X
服从正态分布
 
0,1N
，定义函数
 
f x
为
X
取值不超过
x
的概率，即
 
f x P X x 
.若
0x
，则下列说法正确的有（ ）
A.
 
1f x f x  
B.
 
2 2f x f x
C.
 
f x
在
 
0,
上是增函数 D.
 
 
2 1P X x f x 
10. 2022 年9月钱塘江多处出现罕见潮景“鱼鳞潮”，“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮，一股是波状涌潮，另外
一股是破碎的涌潮，两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌潮．若波状涌潮的图像近似函数
 
*π
sin , , 3
f x A x A
 
 
 
 
 
N
的图像，而破碎的涌潮的图像近似
 
f x
（
 
f x
是函数
 
f x
的导函数）的图像．已知当
2πx
时，两潮有一个交叉点，且破碎的涌潮的波谷为－4，则（ ）
A.
2
B.
π6 2
3
f  
 
 
C.
π
4
f x
 
 
 
是偶函数 D.
 
f x
在区间
π,0
3
 
 
 
上单调
11. 在棱长为
a
的正方体
1 1 1 1
ABCD A B C D
中，
1
B D
与平面
1
ACD
相交于点
，
P
为
1
ACD△
内一点，且
1 1
1
3
PB D ACD
S S
△ △
，设直线 PD 与
1 1
A C
所成的角为
，则下列结论正确的是（ ）
A.
1
B D PE
B. 点P的轨迹是圆
C. 点
P
的
轨迹是椭圆 D.
的取值范围是
π π
,
3 2
 
 
 
12. 已知数列
 
n
a
满足
1
e e 1
n n
a a
n
a
 
，且
11a
，
n
S
是数列
 
n
a
的前 n项和，则下列结论正确的是（ ）
A.
0
n
a
B.
1n n
a a
C.
2021 2023 2022
2a a a 
D.
2023 2S
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分.
13. 设平面向量
a
，
b
的夹角为
60
，且
2a b 
 
，则
a
在
b
上的投影向量是______.
14. 若直线 l：
y kx b 
为曲线
 
ex
f x
与曲线
 
2
e lng x x 
的公切线（其中
e
为自然对数的底数，
e 2.71828 
），则实数 b=___________.
15. 如图，在四棱锥
P ABCD
中，底面
ABCD
为菱形，
PD
底面
ABCD
，
为对角线
AC
与
BD
的交
点，若
3PD
，
π
3
APD BAD  
，则三棱锥
P AOD
的外接球的体积为______.
16. 已知双曲线
 
2 2
2 2 1 0
x y a b
a b
E  ：
的左、右焦点分别为
 
13, 0F
，
 
23,0F
、两条渐近线的夹角正
切值为
2 2
，则双曲线
的标准方程为______；若直线
: 3 0l kx y k 
与双曲线
的右支交于
,A B
两点，
设
1
F AB
的内心为
I
，则
1
F AB
与
IAB△
的面积的比值的取值范围是______.
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