湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高三上学期月考(一)数学试题 含解析

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大联考长沙市一中 2024 届高三月考试卷（一）
数学
时量：120 分钟 满分：150 分
一､选择题（本大题共 8个小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1. 设非空集合 P，Q满足 ，则表述正确的是（ ）
A. ，有 B. ，有
C. ，使得 D. ，使得
【答案】B
【解析】
【分析】根据子集的定义即可求解.
【详解】因为 P⊆Q，则由子集的定义知集合 P中的任何一个元素都在 Q中，
而Q中元素不一定在 P中(集合相等或不相等两种情况)，故 B正确，ACD 错误．
故选：B
2. 设等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A. 5 B. 15 C. 25 D. 35
【答案】B
【解析】
【分析】根据等比数列前 项和的性质列方程求解
【详解】由等比数列 的前 项和的性质可得： 也成等比数列，
，得 ，
解得 .
故选：B.
3. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用二倍角公式和同角三角函数的关系求解
【详解】因为 ，
所以 ，
故选：B.
4. 抛物线 的焦点到双曲线 的渐近线的距离是 ，则该双曲线的离心率为
（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求得抛物线的焦点，根据点到直线的距离公式列方程，求得 ，由此求得双曲线的离心
率.
【详解】抛物线 即 的焦点坐标为 ，
双曲线 的渐近线方程为 ，即 ，
所以点 到直线 的距离为 ，则 ，
则双曲线的离心率为 .
故选：A
5. 已知非零向量 ，则下列命题错误的是（ ）
A.
B.
C. 与向量 共线的单位向量为
D. 记 ，则向量 在向量 上的投影向量为
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量数量积的定义判断 A；利用向量加法的三角形法则判断 B；利用单位向量的定义判断
C；利用投影向量的定义判断 D.
【详解】对于选项 A： 故 A正确；
对于选项 B：当 不共线时，由向量加法的三角形法则，可得 ；当 反向共线时，
可得 ；当 同向共线时，可得 ；综合可得
，故 B正确；
对于选项 C：与向量 共线的单位向量为 ，故 C错误；
对于选项 由 ，易知 ，所以向量 在向量 上的投影向量为
；故 D正确.
故选：C.
6. 已知随机变量 服从正态分布 ，有下列四个命题：
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