湖南省长沙市第一中学2022-2023学年高三下学期月考（八）数学

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长沙市一中 2023 届高三月考试卷 (八)

数学试卷

一、单项选择题:本题共 8小题,每小题 5分,共40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 A=x

x2<2x,集合 B={x|log2(x−1) <1},则A∩B=( )

(A) {x|0< x < 3}(B) {x|1< x < 2}(C) {x|2⩽x < 3}(D) {x|0< x < 2}

2. 在复平面内,复数 z与2

1−i对应的点关于虚轴对称,则z等于 ( )

(A) 1 + i (B) −1−i (C) 1−i (D) −1 + i

3. 若双曲线 C:x2

9−y2

m= 1 (m > 0) 的一条渐近线与 x轴的夹角是 π

3,则C的虚轴长是 ( )

(A) 2√3

3(B) 3√3(C) 2 (D) 6√3

4. 若(1 + x)(1 −2x)7=a0+a1x+a2x2+··· +a8x8,则a1+a3+a5+a7的值是 ( )

(A) −1(B) −2(C) 2 (D) 1

5. 在△ABC 中,“cos A+sin A=cos B+sin B”是“∠C= 90◦”的 ( )

(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件

6. 长沙烈士公园西南小丘上兴建了烈士纪念塔,纪念为人民解放事业牺牲的湖南革命烈士,它是公园的标志.为了

测量纪念塔的实际高度,某同学设计了如下测量方案:在烈士纪念塔底座平面的 A点位置测得纪念塔顶端仰角的

正切值为 3

2,然后直线走了 20 m, 抵达纪念塔底座平面 B点位置测得纪念塔顶端的仰角为 π

3.已知该同学沿直

线行进的方向与他第一次望向烈士纪念塔底端的方向所成角为 π

3,则该烈士纪念塔的高度约为 ( )

(A) 30 m (B) 45 m (C) 60 m (D) 75 m

7. 已知点 P(2,2),直线 AB 与抛物线 C:y2= 2x交于 A、B两点,且直线 P A,P B 的倾斜角互补,则直线 AB 的

斜率为 ( )

(A) −1

4(B) −1

2(C) −1(D) −2

8. 函数 g(x) = ln x

x+ 1 在区间 [t, +∞) (t∈N∗)上存在极值,则t的最大值为 ( )

(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5

二、多项选择题:本题共 4小题,每小题 5分,共20 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得

5分,有选错的得 0分,部分选对的得 2分.

9. 已知 a,b∈(0,+∞),λ=a+b,µ=√3ab,则( )

(A) λ−µ < 0(B) λ−µ⩾0(C) µ

λ⩽√3

2(D) µ

λ>√3

10. 数列 {an}首项 a1= 2,对一切正整数 n,都有 an+1 = 2 −1

,则( )

(A) 数列 1

an−1是等差数列

(B) 对一切正整数 n都有 an>1

(D) 对任意小的正数 ε,存在 n0∈N,使得 |an+1 −an|< ε (n > n0)

11. 已知直线 l:x−y+ 2 = 0 与x轴交于点 A,点P在直线 l上,圆C:(x−2)2+y2= 2 上有且仅有一个点 B满

足AB ⊥BP ,则点 P的横坐标的取值可以为 ( )

(A) 1

3(B) 1

2(C) 3 (D) 5

12. 将2n(n∈N∗)个有编号的球随机放入 2个不同的盒子中,已知每个球放入这 2个盒子的可能性相同,且每个盒

子容纳球数不限,记2个盒子中最少的球数为 X(0 ⩽X⩽n, X ∈N∗),则下列说法中正确的有 ( )

(A) 当n= 1 时,方差 D(X) = 1

(B) 当n= 2 时,P(X= 1) = 3

(D) 当n确定时,期望 E(X) = n22n−Cn

2n

22n

三、填空题:本题共 4小题,每小题 5分,共20 分.

13. 函数 f(x)的图象在区间 (1,3) 上连续不断,能说明“若 f(x)在区间 (1,3) 上存在零点,则f(1) ·f(3) <0”为假命

题的一个函数 f(x)的解析式可以为 f(x) = .

14. 若随机变量 ξ的数学期望和方差分别为 E(ξ),D(ξ),则对于任意 ε > 0,不等式 P(|ξ−E(ξ)|⩾ε)⩽D(ξ)

ε2成立.

在2023 年湖南省高三九校联考中,数学科考试满分 150 分,某校高三共有 500 名学生参加考试,全体学生的成绩

ξ的期望 E(ξ) = 80,方差 D(ξ) = 42,则根据上述不等式,可估计分数不低于 100 分的学生不超过人.

15. 如图,在平面斜坐标系 xOy 中,∠xOy = 60◦,平面上任意一点 P关于斜坐标系的斜坐标这样定义:若# »

OP =

xe1+ye2(其中 e1,e2分别是 x轴,y轴正方向的单位向量), 则P点的斜坐标为 (x, y),向量 # »

OP 的斜坐标为

(x, y),

# »

OM = (3,1),

# »

ON = (1,3),则△OMN 的面积为 .

16. 正方体 ABCD −A1B1C1D1的棱长为 2, 点E∈平面 AA1B1B,点F是线段 AA1的中点,若D1E⊥CF ,则

当△EBC 的面积取得最小值时,三棱锥 E−BCC1外接球的体积为 .

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