湖南省师大附中2023届高三月考试卷（七）丨数学解析

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湖南师大附中 2023 届高三月考试卷（七）
数学
时量：120 分钟满分：150 分
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知模为 2的复数
z
对应的向量为
OZ

（
O
为坐标原点），它对应的点位于第二象限，
OZ

与实轴正向的
夹角为
150
，则复数
z
为（ ）
A.
1 3 i
B. 2 C.
1 3 i 
D.
3 i 
【答案】D
【解析】
【分析】设复数
z
对应的点为
 
,x y
，根据题意可得
，即可得解.
【详解】设复数
z
对应的点为
 
,x y
，
则
cos150 3, sin150 1x z y z    
，
所以
3 iz 
.
故选：D.
2. 若一个
n
位正整数的所有数位上数字的
n
次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数，已知所有一位
正整数的自恋数组成集合
A
，集合
 
3 4B x Z x  
，则
A B
真子集个数为（ ）
A. 3 B. 4 C. 7 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据题中定义，结合集合交集的定义、真子集个数公式进行求解即可.
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【详解】由题中定义可知
 
1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9A
，而
 
3 4B x Z x  
，
所以
 
1, 2,3A B
，因此
A B
真子集个数为
3
2 1 7 
，
故选：C
3. 已知
 
f x
为奇函数，且
0x
时，
 
ex
f x
，则
 
ef
（ ）
A.
e
e
B.
e
-e
C.
-e
e
D.
-e
-e
【答案】D
【解析】
【分析】由奇函数性质及解析式求解即可.
【详解】
 
f x
为奇函数，且
0x
时，
 
ex
f x
，
 
-e
e -e -ef f 
.
故选：D
4. 杭州亚运会共设
40
个竞赛大项，包括
31
个奥运项目和
9
个非奥运项目，共设杭州赛区、宁波赛区、温州
赛区、金华赛区、绍兴赛区、湖州赛区、现需从
6
名管理者中选取
4
人分别到温州、金华、绍兴、湖州四个
赛区负责志愿者工作，要求四个赛区各有一名管理者，且
6
人中甲、乙两人不去温州赛区，则不同的选择方
案共有（ ）
A.
300
种B.
240
种C.
144
种D.
96
种
【答案】B
【解析】
【分析】利用排列组合的知识分别求解甲、乙都没有被选派、甲、乙有且仅有一人被选派和甲、乙均被选
派三种情况下的方案数，加和即可求得结果.
【详解】若甲、乙都没有被选派，则共有
4
4
A 24
种方案；
若甲、乙有且仅有一人被选派，则共有
1 1 3
2 3 4
C C A 144
种方案；
若甲、乙均被选派，则共有
1 1 3
4 3 3
C C A 72
种方案；
综上所述：不同的选择方案有
24 144 72 240  
种.
故选：B.
5. “碳达峰”是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后开始下降，而“碳中和”是指企业、团体或个人通过
植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．某地区二氧化碳的
排放量达到峰值 a（亿吨）后开始下降，其二氧化碳的排放量 S（亿吨）与时间 t（年）满足函数关系式
t
S ab
，
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若经过 4年，该地区二氧化碳的排放量为
3
4
a
（亿吨）．已知该地区通过植树造林、节能减排等形式抵消自
身产生的二氧化碳排放量为
3
a
（亿吨），则该地区要实现“碳中和”，至少需要经过（ ）（参考数据：
lg 2 0.30, lg 3 0.48 
）
A. 13 年B. 14 年C. 15 年D. 16 年
【答案】D
【解析】
【
分析】由条件列式
43
4
a
ab
先确定参数，再结合对数运算解方程
3
ta
ab
.
【详解】由题意，
43
4
a
S ab 
，即
43
4
b
，所以
43
4
b
，
令
3
ta
ab
，即
1
3
t
b
，故
43 1
4 3
t
 
 
，即
43 1
lg lg
4 3
t
，
可得
1(lg3 2lg2) lg3
4t  
，即
4 lg 3 16
2 lg 2 lg 3
t 
．
故选：D
6. 已知椭圆
2 2
2 2
: 1( 0)
x y
E a b
a b
 
的右焦点为
F
．短轴的一个端点为
M
，直线
: 3 4 0l x y 
交椭圆
E
于
,A B
两点．若
4AF BF 
，点
M
到直线
l
的距离不小于
4
5
，则椭圆
E
的离心率的取值范围是
A.
3
(0, ]
2
B.
3
(0, ]
4
C.
3
[ ,1)
2
D.
3
[ ,1)
4
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：设
1
F
是椭圆的左焦点，由于直线
: 3 4 0l x y 
过原点，因此
,A B
两点关于原点对称，
从而
1
AF BF
是平行四边形，所以
14BF BF AF BF   
，即
2 4a
，
2a
，设
(0, )M b
，则
4
5
b
d
，
所以
4 4
5 5
b
，
1b
，即
1 2b 
，又
2 2 2 2
4c a b b  
，所以
0 3c 
，
3
02
c
a
 
．故选 A．
考点：椭圆的几何性质．
【名师点睛】本题考查椭圆的离心率的范围，因此要求得
,a c
关系或范围，解题的关键是利用对称性得出
AF BF
就是
2a
，从而得
2a
，于是只有由点到直线的距离得出
b
的范围，就得出
c
的取值范围，从而
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