辽宁省沈阳市第二中学2022-2023学年高三上学期期末考试数学试题答案
答案第 1页，共 6页
沈阳二中 2022-2023 学年度上学期期末考试
高三（23 届）数学试题答案
!"#$%&'(((((((((()*#$+,-((./0(
12"34$567(8898:((889(
;2"34$<65=(>8((9>8((9>8((>:8(
?@"34$(
13. 375
14. 即
𝑥 −
√
35𝑦 + 6 = 0
或
𝑥 +
√
35𝑦 + 6 = 0
或
𝑥 +
√
3𝑦 − 2 = 0
或
,
𝑥 −
√
3𝑦 − 2 = 0
故答案为：
𝑥 −
√
35𝑦 + 6 = 0
.（答案不唯一，写其它三条均可）
5AB(C7(
5DE((
17． 解：（1）由 ，
得 ，
又 ，
是首项为 5，公差为 3的等差数列.-----------2分
，故 .----------4分
（2）由（1）知 ，
所以
①
②
，
①
-
②
得：
，
.-----------------------------------------------------10 分
18．解：（1）由 正 弦 定 理 ， ，故 .
又为锐角三角形，故 ，故 ，即 ，
6
2
11
22 3
nn nn
aa aa
++
-=
*
1
22
3,
nn
n
aa
+
-=ÎN
1
25
a
=
2
n
a
ìü
\íý
îþ
( )
253 1 3 2
n
nn
a
\=+ -=+
*
2,
32
n
an
n
=Î
+
N
( )
1
22
,322
32
n
n
nn
n
acn
na
-
=\==+×
+
( ) ( )
221
582112 3 12 3 22
nn
n
Tnn
--
=+´+´+ + - × + + ×!
( ) ( )
23 1
25282112 312 322
nn
n
Tnn
-
=´+´+´+ + - × + + ×!
( ) ( ) ( )
1
21 6(1 2 )
53232 32 3 22 5 3 22 13 2 1
12
n
nn nn
n
Tnnn
-
-×-
-=+´+´++´ - +×=+ -+×=- × -
-
!
( )
3121
n
n
Tn\=-×+
( )
sin sin sin sin ( 0, ,sin 0)
5
AC
ABAAA
p
+=Î>
sin sin
5
AC B
+=
ABC!
π π
0,0
55 2
AC B
+
<<<<
5
AC B
+=
5πAC B B+= =-
答案第 2页，共 6页
解得 .-----------------4分
（2）由正弦定理 ，即 ，又
，故 .---------------6分
由正弦定理 可得 .因为 ，且 为锐角三角形，故
,且，可得 .--------------------8分
故，即 ，故 ，
即b的取值范围为 --------------12 分
19．解：（1）证明：在 中，
∵
， ， ，
由余弦定理可得： ，
即 ，
∴
，
从而 ----------2分
∵
，
∴
∵
平面 平面 PA D ，平面 ABCD 平面 PA D ，AB 平面 ABCD.
∴
平面 PA D ，
∴
平面 PA D ，
∴
.--------------4分
∵
，AB 平面 PA B ，PA 平面 PA B
，
∴
平面 PA B .
∵
平面 PA B ，
∴
．--------------6分
（2）以 A为原点，以 AD为y轴，建系如图所示，则 ， ， ，
，
π
6
B=
2 sin cos 2 sin cos sinCA ACaB+=
( )
2sin sinAC a B+=
( ) ( )
sin sin πsinAC B B+= -=
2a=
sin sin
ab
AB
=
sin 1
sin sin
aB
b
AA
==
π
6
B=
ABC!
π
0
2
A<<
π
0π
2
BA<-- <
π π
32
A<<
π π
sin sin sin
32
A<<
3sin 1
2
A<<
123
1
sin 3A
<<
23
1, 3
æö
ç÷
ç÷
èø
PAD!
1PA =
2AD =
30ADPÐ=°
222
2cosPA AD PD AD PD ADP=+-××Ð
2
14 4 30 3
o
cosPD PD PD=+ - × Þ =
222
AD PA PD=+
PD PA^
90BADÐ=°
AB AD^
ABCD
^
∩
AD=
Ì
AB
^
PD Ì
PD AB^
AB PA A=!
Ì
Ì
PD ^
PB Ì
PD PB^
( )
0, 0,1B
31
,,0
22
P
æö
ç÷
ç÷
èø
( ) ( )
0,1,1 , 0, 2, 0CD
35
0
44
,,E
æö
ç÷
ç÷
èø
答案第 3页，共 6页
则 ， ，
，.
设，则
设异面直线 BM 和CE 所成角为 ，则
得.此时，
设面 MAB 的一个法向量为 ，
有
令，则 ，，取 .
设面 PCD 的一个法向量为 ，
有
令，则 ，，取
设面 MAB 与面 PCD 的夹角为 ，
则.
即面 MAB 与面 PCD 夹角的余弦值为 .
31 1
44
,,CE
æö
=-
ç÷
ç÷
èø
!!!"
31 1
22
,,BP
æö
=-
ç÷
ç÷
èø
!!!"
31
1
22
,,PC
æö
=-
ç÷
ç÷
èø
!!!"
( )
001,,AB =
!!!"
( )
01 1,,CD =-
!!!"
PM PC
l
=
!!!!" !!!"
( )
01
l
££
BM BP PM BP λPC=+ =+
!!!!" !!!" !!!!" !!!" !!!"
( ) ( )
31 31 3 1
11111
22 22 2 2
,, ,, , ,λ λ λ λ
æöæ öæ ö
=-+-=-+-
ç÷ç ÷ç ÷
ç÷ç ÷ç ÷
èøè øè ø
a
2
65 10
5
25 2 3 2
cos cos ,
λ
BM CE
αBM CE
BM CE λ λ
-
×
=== =
×´-+
!!!!" !!!"
!!!!" !!!"
!!!!" !!!"
2
3
l
=
35 1
66 3
,, .BM
æö
=-
ç÷
ç÷
èø
!!!!"
( )
1111
,,nxyz=
!"
1
1
111
1
0
0
3510
0
663
z
nAB
xyz
nBM
=
ì
ì×=
ïï
Þ
íí
+-=
×=
ïï
îî
!" !!!"
!" !!!!"
13y=
15x=-
10z=
( )
1530,,n=-
!"
( )
2222
,,nxyz=
!!"
22
2
222
2
0
0
31 0
0
22
yz
nCD
xyz
nPC
-=
ì
ì×=
ïï
Þ
íí
-++=
×=
ïï
îî
!!" !!!"
!!" !!!"
23x=
21y=
21z=
( )
23,1,1n=
!!"
q
12
12
4 3 2 105
35
140
cos
nn
θ
nn
×-
===
×
2105
35
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