山西省太原市第五中学2023届高三下学期4月一模试题 数学答案

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太原五中高三数学月考答案
（A 卷）
1-8：BCCCB CBD 9.BC 10. AD 11.ABD 12.BC
（B 卷）
1-8：ABCAC DAC 9.BC 10. AC 11.ACD 12.BC
13.
1
e
14.
[1,11]
15.
❑
√
3
2
16.-800
17. （1）∵
PA ⊥平面 ABC
∴
PA ⊥B C
又∵
BC ⊥A B
∴
BC ⊥平面 PAB
∴
∵
AN ⊥PB
∴
AN ⊥平面 PB C
∴
AN ⊥PC
又∵
PC ⊥SA
∴
PC ⊥平面 ASN
∴
PC ⊥SN
∴
∠ASN
是二面角
A−PC−B
的平面角
（2）以点 B 为原点，以
⃗
BC ，
⃗
B A ，
⃗
AP
方向分别为 x、y、z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系设 AB=1，则
A(0,1,0) C(
❑
√
3
,0,0) P(0,1,2)
易得平面 APC 的法向量为
⃗
n=(1,❑
√
3,0)
,平面 PBC 的的法向量
⃗
m=(0,2,−1)
cos <
⃗
n ,
⃗
m≥2❑
√
3
2❑
√
5=❑
√
15
5
∴二面角
A−PC−B
的正弦值为
❑
√
1 0
5
18.
¿
Ⅰ
¿
证明：依题意，由
an+1−an
2=2an
，可得
an+1=an
2+2an
，
两边同时加
1
，可得
an+1+1=an
2+2an+1=¿
，
两边同时取以
2
为底的对数，可得
log2(an+1+1)=log2¿
，
∵log2(a1+1)=log2(3+1)=log24=2
，
∴
数列
{log2(an+1)}
是以
2
为首项，
2
为公比的等比数列，
∴log2(an+1)=2⋅2n−1=2n
，
∴22n=an+1
，
∵2bn=an+1
，
∴22n=2bn
∴bn=2n=2⋅2n−1
，
n∈N∗¿
，
∴
数列
{bn}
是以
2
为首项，
2
为公比的等比数列．
¿
Ⅱ
¿
解：由
¿
Ⅰ
¿
可得，
cn=n
bn
+1=n
2n+1
，
则
Tn=c1+c2+c3+⋅⋅⋅+cn
¿(1
21+1)+( 2
22+1)+( 3
23+1)+⋅⋅⋅+( n
2n+1)
¿(1
21+2
22+3
23+⋅⋅⋅+n
2n)+n
，令
Mn=1
21+2
22+3
23+⋅⋅⋅+n
2n
，
则
1
2Mn=1
22+2
23+⋅⋅⋅+n−1
2n+n
2n+1
，
两式相减，
可得
1
2Mn=1
21+1
22+1
23+⋅⋅⋅+1
2n−n
2n+1
¿
1
2−1
2n+1
1−1
2
−n
2n+1
¿1−n+2
2n+1
，
∴Mn=2−n+2
2n
，
∴Tn=( 1
21+2
22+3
23+⋅⋅⋅+n
2n)+n
19.【答案】
π
6
，
2+❑
√
3
20.
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