山西省太原市第五中学2023-2024学年高二上学期10月月考试题 数学答案2023.10.13(1)

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太原五中 2023—2024 学年度第一学期月考（10.13）
参考答案
【答案】
1.
D
2.
D
3.
B
4.
A
5.
A
6.
A
7.
D
8.
9.
A CD
10.
BC D
11.
AD
12.
B D
13.
(−3
2,3
2,0)
14.
3❑
√
5
5
15.
x2+y2−4x−2y−20=0
16.
❑
√
5
17. 【解答】
1）证明： ： ．
则
所以无论 为何实数，直线 恒过一定点 ．……………………………………4分
2）由题知直线 的斜率 ，设直线 ： ，
，……………………6 分
∵k<0∴−4
k>0,−k>0
， ……………………8 分
， ……………………9 分
………………………………10 分
即：
18.【解答】
解：
(1)
由题意得，
BC1
⃗
=B B1
⃗
+B1C1
⃗
=B B1
⃗
+B1A1
⃗
+A1C1
⃗
=a
⃗
+c
⃗
−b
⃗
，…………2 分
因为底面边长和侧棱长都等于
1
，且
∠BA A1=∠CA A1=60°
，
∴a
⃗
·b
⃗
=a
⃗
· c
⃗
=b
⃗
· c
⃗
=1
2
，
∴
|
B C1
⃗
|
=
√
(
a
⃗
+c
⃗
−b
⃗
)
2
=
√
a
⃗
2+b
⃗
2+c
⃗
2+2a
⃗
· c
⃗
−2a
⃗
· b
⃗
−2b
⃗
· c
⃗
=
√
2
；……5 分
(2)
|
A B1
⃗
|
=
√
(
a
⃗
+b
⃗
)
2
=
√
3
，…………………………6 分
A B1
⃗
· B C1
⃗
=
(
a
⃗
+b
⃗
)
·
(
a
⃗
+c
⃗
−b
⃗
)
=a
⃗2+a
⃗
· c
⃗
−a
⃗
· b
⃗
+a
⃗
· b
⃗
+b
⃗
· c
⃗
−b
⃗2=1
，……8 分
设异面直线
A B1
与
BC1
所成的角为
θ
，
∴cos θ=
|
A B1
⃗
· B C1
⃗
|
|
A B1
⃗
||
B C1
⃗
|
=1
√
2×
√
3=
√
6
6
．…………………………10 分
19.【解答】
(1)
因为
¿MA∨¿
√
2∨MB∨¿
，
∴
√
¿¿
，化简整理得
x2+y2=32
，
即点
M
的轨迹方程为
x2+y2=32
．………………4 分
(2)
证明：设
P(x1, y1)
，
Q(x2, y2)
，
F(0, m)
，
由
FP
⃗
=λ1PE
⃗
，
∴(x1, y1−m)=λ1(1−x1,−y1)
，
∴x1=λ1
1+λ1
，
y1=m
1+λ1
，…………6 分
∵
点
P
在
x2+y2=32
上，
∴¿
，
整理得
31 λ1
2+64 λ1+32−m2=0
，
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