山西省太原市2023届高三一模数学试题答案

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太原市 2023 年高三年级模拟考试（一）
数学试题参考答案及评分标准
一、选择题： A C D B A C D C
二、选择题: 9.B C 10.A C D 11.A C 12.A D
三、填空题： 13. 30 14.115. 216.
2
四、解答题：17.解：（1）设 }{ n
a的公差为 d，}{ n
S是等差数列， 312
2SSS ，
dd 33122 ，2d，)(12 *
Nnnan； ………5 分
（2）由（1）得 2
1
2
)( n
aan
Sn
n
，
)12)(12(
2
1
nn
n
aa
S
b
nn
n
n)12)(12(
1)14(
4
12
nn
n)
12
1
12
1
(
8
1
4
1
nn ，………8 分
nn bbbT
21 )]
12
1
12
1
()
5
1
3
1
()
3
1
1[(
8
1
4
nn
n24
2
n
nn . ………10 分
18.解：（1）选择条件①： )sinsinsin
3
32
(sinsinsin 22 ACBACB ，
由题意可得 CBAACB sinsinsin
3
32
sinsinsin 222 ，
由正弦定理得 Abcacb sin
3
32
222 ， ………3 分
由余弦定理 Abcacb cos2
222 可得 AA cossin
3
3，3tan A，
A0，60A； ………6 分
选择条件②： CBCBA sinsinsincoscos 222 ，
由题意可得 CBCBA sinsinsinsin1sin1 222 ，
即CBACB sinsinsinsinsin 222 ，由正弦定理得 bcacb 222 ， ………3 分
由余弦定理得
2
1
2
cos
222
bc
acb
A，
A0，60A； ………6 分
（2）由（1）得 60A，CDBD 2，ACABAD 3
2
3
1，
2
2)
3
2
3
1
(ACABAD ACABACAB 9
4
9
4
9
122
Abcbc cos
9
4
9
4
9
122 4
9
2
9
4
9
122 bcbc ， ………9 分
bcbcbcbcbc 6242436 22 ，6bc ，
2
33
4
3
sin
2
1bcAbcS ABC ，
当且仅当
32,3 cb
时，△
ABC
的面积取最大值
2
33
. ………12 分
19 解：（1）取
AD
的中点
G
，连接
FGEG,
，
是
PD
的中点，
APGF //
，
AP
平面
PAB
，
FG
平面
PAB
，
//GF
平面
PAB
，
同理可得
//GE
平面
PAB
， ………3 分
GGFGE
，
GE
平面
GEF
，
GF
平面
GEF
，
平面
//GEF
平面
PAB
，
//EF
平面
PAB
；………6 分
（2）以点
A
为原点，
AB
，
AD
所在的直线分别为
x
轴，
y
轴，建立如图所示的空间直角
坐标系，由题意可得
)0,0,0(A
，
)0,0,4(B
，
)0,4,0(D
，
)0,4,2(C
，
2PA
，直线
PA
与平面
ABCD
的所成角为
30
，
点
P
的竖坐标
1z
，
又
60PAB
，
点
P
的横坐标
1x
，纵坐标
2y
，
)1,2,1(P
， ………8 分
设
),,( 111 zyxm
是平面
PAB
的一个法向量，则
，APm
ABm ,
，02
,04
111
1
zyx
x
令
1
1y
，则
2
1z
，
)2,1,0( m
，
设
),,( 222 zyxn
是平面
PAD
的一个法向量，则
，APn
ADn ,
，02
,04
111
1
zyx
y
令
1
1x
，则
1
1z
，
)1,0,1( n
， ………10 分
||||
,cos
nm
nm
nm

3
3
23
2
，
平面
PAB
与平面
PAD
夹角的余弦值为
3
3
. ………12 分
20.解：（1）
60
20
1
i
i
x
，
1200
20
1
i
i
y
，
3
20
120
1
i
i
xx
，
60
20
120
1
i
i
yy
，
20
1
2
2
20
1
20
20
ˆ
i
i
i
ii
xx
yxyx
b
10
320260
603204400
2
，
3031060
ˆ
ˆxbya
，
y
关于
x
的线性经验回归方程为
3010
ˆxy
；………3 分
（2）由（1）得
3010
ˆxy
，
75301045 x
，
5.45.1 x
，
该新药中此药物成份含量
x
的取值范围为
]5.4,5.1[
；………5 分
（3）（i）设
A
“随机抽取一件新药，是设备
A
生产的”，则
A
“随机抽取一件新药，
是设备
B
生产的”，
B
“随机抽取一件新药为不合格品”，
由题意得
3
2
)( AP
，
3
1
)( AP
，
009.0)|( ABP
，
006.0)|( ABP
，
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