山西省太原市2023届高三上学期期末数学试题 含解析

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2022~2023 学年第一学期高三年级期末考试
数学试卷
（考试时间：上午 8:00—10:00）
说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间 120 分钟，满分 150 分．
一、选择题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次不等式的求解以及对数函数定义域的求解，结合集合运算，可得答案.
【详解】由不等式 ，分解因式可得 ，解得 ，则 ；
由函数 ，可得 ，解得 ，则 ；
综上可得 .
故选：B.
2. 设复数 满足 为虚数单位），则复数 在复平面内所对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简复数 ，再根据复数的几何意义判断即可；
【详解】解：因为 ，所以 ，所以复数 在复平面内所对应的点的坐标
为 ，位于第四象限；
故选：D
3. 已知 ，则向量 与 的夹角为（ ）
A
.
B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由数量积的性质求得 ，再代夹角公式即可求解
【详解】
所以
所以向量 与 的夹角为
故选：C
4. 中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上、下底面均为扇环
形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池， 垂直于底面， ，
，底面扇环所对的圆心角为 ，弧 的长度是弧 长度的 2倍， ，则该曲池的体积为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据扇形弧长公式可知弧 所在圆和弧 所在圆的半径之间关系为 ，结合 可
求得 ，再根据柱体的体积计算公式，采用切割的方式可求得结果.
【详解】设弧 所在圆的半径为 ，弧 所在圆的半径为 ，
因为弧 的长度是弧 长度的 2倍，所以 ，即 ，
又 ，则 ，
所以该曲池的体积 ，
故选： .
5. 某学校音乐社团为庆祝学校百年华诞将举办歌曲展演，要从 4首独唱歌曲和 2首合唱歌曲中选出 4首歌
曲安排演出，若最后一首歌曲必须是合唱歌曲，则不同的安排方法种数为（ ）
A. 96 B. 120 C. 240 D. 360
【答案】B
【解析】
【
分析】有特殊要求得位置优先考虑，先排最后一首歌曲，再排前三首歌曲
【详解】第一步，先从两首合唱歌曲中选一首按排在最后
的
方法有 种
第二步，从其余的歌曲中选三首歌曲安排在前三位的方法有 种
则不同的安排方法种数为：
故选：B
6. 已知 ，则 （ ）
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