山东省临沂市临沂第一中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题答案

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第1页 共 4页
临沂一中 2021 级高二上学期期末检测
数学答案
1．C 2．D 3．C 4．C 5．B 6．C 7．C 8．B 9．BD 10．ACD 11．ACD 12．BD
13．
1
或
9
2
14．2 15．
2
16．3
17．解：（Ⅰ）如图所示，平行六面体
1 1 1 1
ABCD A B C D
的底面是菱形，
2AB
，
14AA
，
1 1 60DAB A AB DAA    
，
，
MBMD
1
，设
1
, ,AB a AD b AA c 
  
 
，
则
1 1 1
2 2 2
AM a b c  
 
，…………………………………2分
1 1 1 1 1 1 1
3 3 3 3
( ) ( )
4 4 4 4
AN AA A N AA A B A D c a b a b c  
     
 
．………………………4分
综上，
1 1 1 3 3
,
2 2 2 4 4
AM a b c AN a b c     
 
 
 
；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
1 1 1 3 3
,
2 2 2 4 4
AM a b c AN a b c     
 
 
 
，
得
1 1 1
4 4 2
NM AM AN a b c  
 
 
．…………………………………………6分
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
| | ( )
4 4 2 16 16 4 8 4 4
NM a b c a b c a b a c b c  
 
 
．
平行六面体
1 1 1 1
ABCD A B C D
的底面是菱形，
2AB
，
14AA
，
1 1 60DAB A AB DAA    
，
由题设条件得
2 2 2
4, 16, 2 2 cos 60 2, 2 4 cos 60 4a b c a b a c b c    
 
 
，……8分
1 1 1 1 1 1 3 3
| | 4 4 16 2 4 4
16 16 4 8 4 4 2
NM        
．
MN
的长度为
3 3
2
．…………………………………………10 分
18．解：（1）由题意知
2 3 0
4 3 5 0
x y
x y
 
 
，解得
2
1
x
y
，
直线
2 3 0x y  
和
4 3 5 0x y  
的交点为
(2,1)
；……………………………2分
设直线
l
的斜率为
k
，
l
与直线
2 0x y  
垂直，
1k 
；…………………………4分
直线
l
的方程为
1 ( 2)y x 
，化为一般形式为
；…………………………6分
（2）设圆
C
的半径为
r
，则圆心为
(3, 0)C
到直线
l
的距离为
| 3 0 1| 2
1 1
d 
 
，由垂径定理得
2 2 2 2 2
| | 2 2
( ) ( 2) ( ) 4
2 2
AB
r d 
，解得
2r
，……9分
圆
C
的标准方程为
2 2
( 3) 4x y  
．……………………………………………12 分
第2页 共 4页
19．解：（1）数列
{ }
n
a
为公差为
d
的等差数列，
10 70S
，
11a
，
可得
1
10 10 9 70
2d 
，解得
4
3
d
，……………………………4分
则
4 4 1
1 ( 1)
3 3 3
n
a n n 
；……………………………………………6分
（2）数列
{ }
n
a
为公比为
q
的等比数列，
4
1
8
a
，
11a
，可得
31
8
q
，即
1
2
q
，…………8分
则
1
1
( )
2
n
n
a
，
1
1
1 ( ) 1
22 ( )
12
12
n
n
n
S
 
，……………………………10 分
100
n n
S a
，即为
1 1
1 1
2 ( ) 100 ( )
2 2
n n 
，
即
2 101
n
，可得
7n
，即
n
的最小值为 7．…………………………………………………12 分
20.解（Ⅰ）以
C
为原点，
CA
，
CB
，
1
CC
的方向为
x
轴，
y
轴，
z
轴的正方向建立如图所示
空间直角坐标系，则
(0C
，0，
0)
，
(2A
，0，
0)
，
(0B
，2，
0)
，
1(0C
，0，
3)
，
1(2A
，0，
3)
，
1(0B
，2，
3)
，
(2D
，0，
1)
，
(0E
，0，
2)
，
(1M
，1，
3)
，……2分
1(1C M
，1，
0)
，
1(2B D
，
2
，
2)
，…………………………3分
1 1 2 2 0 0C M B D    
 
，
1 1
C M B D 
；……………………………………4分
（Ⅱ）依题意，
(2CA
，0，
0)
是平面
1
BB E
的一个法向量，…………5分
1(0EB
，2，
1)
，
(2ED
，0，
1)
，设
(n x
，
y
，
)z
为平面
1
DB E
的法向量，
则
10
0
n EB
n ED
 
 
，即
2 0
2 0
y z
x z
 
 
，不妨设
1x
，则
(1n
，
1
，
2)
，…………6分
cos CA
，
6
6
| | | |
CA n
nCA n
 
，…………………………………………7分
sin CA
，
1 30
16 6
n  
，
二面角
1
B B E D 
的正弦值
30
6
；……………………………………8分
（Ⅲ）依题意，
( 2AB  
，2，
0)
，
由（Ⅱ）知，
(1n
，
1
，
2)
为平面
1
DB E
的一个法向量，……………………10 分
cos AB
，
3
3
| | | |
AB n
nAB n
  
，
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