山东省济南市莱芜第一中学2022-2023学年高二上学期期末阶段性学情检测数学试题答案

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济南市莱芜第一中学高二阶段性检测试题（数学）答案
一、单项选择题：
ACACB AAB
二、多项选择题
AC,BCD,AB,AD
三、填空题
13.①
2x
或
3 4 14 0x y  
13.②
11
13
13.③
2
2
13.④
2
4
，
y x 
四、解答题.
2
933
2
)139
2
3
31
31(3
2
)3(
3......33()1......432(
313)2(
1123
1632,3,3,21.14
2222
132
1
12
321
nnnnnn
nS
nab
naaad
aaaaaaaa
nnn
n
n
n
a
nn
n
n
（）
）所以
由题意可得
所以所以公差
解得所以）可知（
15.（1）将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，
即
 
2 2 2 2
4 2 2 4 0x y x y x y y    
，化简得
，
所以圆
1
C
的圆心
 
0,1
到直线
的距离为
1 1 2
1 1
d 
 
，
则
2
2 2
15 2 3
2
AB r d
 
 
 
，解得
2 3AB
，
所以公共弦长为
2 3
.
（2）解法一：设过两圆的交点的圆为
 
2 2 2 2
4 2 2 4 0, 1x y x y x y y
 
    
，
则
2 2 4 2 2 4 0, 1
1 1 1
x y x y
 
 
 
 
；
由圆心
2 1
,
1 1
 
 
 
 
 
在直线
2 4 1x y 
上，则
 
4 1
41
1 1
 
 
 
，解得
1
3
，
所求圆的方程为
2 2 3 1 0x y x y  
，即
2 2
3 1 7
2 2 2
x y
 
 
 
 
.
解法二：由（1）得
1y x 
，代入圆
2 2
2: 4 2 0C x y x y 
，化简可得
2
2 4 1 0x x  
，解得
2 6
2
x
；
{#{QQABTYAUogCgAAIAAABCUwHACkIQkhGCCIgGQFAYsEAByQNABAA=}#}
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当
2 6
2
x
时，
6
2
y
；当
2 6
2
x
时，
6
2
y 
；
设所求圆的圆心坐标为
 
,a b
，
则
2 2 2 2
2 6 6 2 6 6
2 2 2 2
2 4 1
a b a b
a b
   
 
   
   
   
   
 
，解得
3
2
1
2
a
b
 
；
所以
2 2
23 2 6 1 6 7
2 2 2 2 2
r  
 
 
 
 
；
所以过两圆的交点且圆心在直线
2 4 1x y 
上的圆的方程为
2 2
3 1 7
2 2 2
x y
 
 
 
 
16.（1）证明：因为 AO⊥平面 BB1C1C，B1C⊂平面 BB1C1C，所以 AO⊥B1C．因为 BC＝BB1，四边形 BB1C1C
是平行四边形，所以四边形 BB1C1C是菱形．所以 BC1⊥B1C．
因为 AO∩BC1＝O，AO⊂平面 ABC1，BC1⊂平面 ABC1，所以 B1C⊥平面 ABC1．
因为 AB⊂平面 ABC1，所以 B1C⊥AB．
（2）解：因为 AB 与平面 BB1C1C所成角为 30°，AO⊥平面 BB1C1C，所以∠ABO＝30°，
因为∠B1BC＝60°，所以△BCB1是正三角形，设 BC＝2，则 ，
以O为原点，分别以 OB，OB1，OA 所在直线为 x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
所以 ，
设平面 AB1C1的一个法向量为 n1＝（x，y，z），
则
令x＝1，得 ，设平面 B1C1A1的一个法向量为 n2＝（x′，y′，z′），
{#{QQABTYAUogCgAAIAAABCUwHACkIQkhGCCIgGQFAYsEAByQNABAA=}#}
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则 令 x′＝1，解得 ．
设二面角 A1﹣B1C1﹣A的大小为θ，
因为 ，
所以 ，
所以二面角 A1﹣B1C1﹣A的正弦值为 ．
17(1)因椭圆
C
：
2 2
2 2 1
x y
a b
 
的离心率为
2
2
，则
2 2
2
2
1
2
a b
ea
 
，即
2 2
2a b
，
又点
(2, 2)
在
C
上，则有
2 2
4 2 1
a b
 
，联立解得
2 2
8, 4a b 
，.
所以椭圆
C
的方程为
2 2
1
8 4
x y
 
.
(2)因直线
l
不过原点
O
且不平行于坐标轴，则设直线
l
：
y kx m 
( 0, 0)k m 
，
1 1
( , )A x y
，
2 2
( , )B x y
，
( , )
M M
M x y
将
y kx m 
代入
2 2
1
8 4
x y
 
得
2 2 2
( )2 1 4 2 8 0k x kmx m  
，
2 2 2 2 2 2
16 8(2 1)( 4) 8(8 4) 0k m k m k m    
，即
2 2
8 4k m 
，
1 2 2
4
2 1
km
x x k
 
，
于是得
1 2
2
2
2 2 1
M
x x km
xk
，
2
2 1
M M
m
y k x m k
 
，
因此，直线
OM
的斜率
1
2
M
OM
M
y
kx k
 
，则有
1
2
OM
k k  
，
所以直线
OM
的斜率与直线
l
的斜率的乘积为定值
1
2
.
18.（1）由
11
n
n
n
a
aca
，得
1
1 1
n n
c
a a
 
，即
1
1 1
n n
c
a a
 
，
所以数列
1
n
a
 
 
 
是等差数列，其公差为
c
，首项为 1，
因此，
 
11 1
n
n c
a 
，
 
1
1 1
n
an c
 
，
由
1 2 5
, ,a a a
成等比数列，得
2
2 1 5
a a a
，即
2
1 1
1
1 4 1c c
 
 
 
 
，
{#{QQABTYAUogCgAAIAAABCUwHACkIQkhGCCIgGQFAYsEAByQNABAA=}#}
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