山东省菏泽市2023届高三二模数学试题 含解析

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全市高三第二次模拟测试数学试题
第I卷 选择题（共 60 分）
一、选择题（本题共 8个小题，每小题 5分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合要求的.）
1. 已知全集 ，集合 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】解一元二次不等式化简集合 A，再利用补集的定义求解作答.
【详解】集合 ，而全集 ，
所以 .
故选：A
2. 设a，b为实数， ，若 ，则复数 的虚部为（ ）
A. B. －C. D. －
【答案】D
【解析】
【分析】利用复数乘除法运算法则得到 ，得到复数 的虚部.
【详解】变形得到 ，
故 ，解得 ，故 ，
所以 ，复数 的虚部为 .
故选：D
3. “ ”是“直线 与直线 平行”的（ ）
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要
【答案】A
【解析】
【分析】由 可得直线 与直线 平行，即充分条件成立；由直线
与直线 平行，求得 的值为 ，即必要条件成立；
【详解】因为 ，所以直线 ，直线 ，则 与 平行，故充分条件
成立；
当直线 与直线 平行时， ，解得 或 ，当 时，
直线 与直线 重合，当 时，直线 ，直线
平行，故必要条件成立.
综上知，“ ”是“直线 与直线 平行”的充要条件.
故选：A.
4. 已知一个装满水的圆台容器的上底面半径为 5，下底面半径为 1，高为 ，若将一个铁球放入该容器
中，使得铁球完全没入水中，则可放入铁球的表面积的最大值为（ ）
A. 32π B. 36π C. 48π D. 50π
【答案】D
【解析】
【分析】确定表面积最大时铁球的特性，作出圆台及球的轴截面，借助圆的切线性质及直角三角形求出球
半径作答.
【详解】依题意，铁球的表面积最大时，该球与圆台上底面和侧面相切，显然铁球球心 在圆台的轴线上，
过圆台的轴作平面截面圆台得等腰梯形 ，截球得球的大圆 ，圆 与 都相切，如图，
令 的中点为 ，过点 的圆 的直径另一端点为 ，过 作圆 的切线交 分别于 ，
则 ，即圆 是等腰梯形 的内切圆，过 作 的垂线，垂足分别为 ，
令圆 切 于 ，于是 , ，令圆 的半径为 ， ，
显然 ，又 ，则有 ，而 ，
因此 ，又 ，即 ，
中， ，于是 ，解得 ，
所以可放入铁球的表面积的最大值 .
故选：D
5. 设 、 分别为双曲线 的左右焦点，O为坐标原点，过左焦点 作直线 与
圆 切于点 E，与双曲线右支交于点 P，且 为等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ）
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