山东省菏泽市2022-2023学年高三下学期2月一模试题 数学答案

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2023.02 高三一模数学参考答案
一单选
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
C
D
D
A
C
A
C
二多选
题号
9
10
11
12
答案
ACD
BC
BC
BCD
三 填空
13. 2 14. 1 15. 1 16.
4
21
四 解答题
17.解：因为
ABC
 
（
0
 
 
）,
1AB BC CD  
，
，
所以
,
2 2
BCA
 
 
( ) ,
2 2 2 2 2
BCD BCA
 
   
在
BCD
中，
2 2 2 2 cos 2 2cos ,
2
BD BC CD BC CD BCD
    
-----------4 分
（1）所以
2 2cos 2cos ;
2 4
BD
 
 
--------------------------------------------------5 分
（2）在
ABC
中，
2 2 2 2 cos 2 2cos ,AC AB BC AB BC ABC
 
--------7 分
2 2 2
2 2cos 2 2cos 4cos 2cos 6,
2 2 2
AC BD
 
 
因为
0
 
 
，所以
0 cos 1,
2
 
当
1
cos 2 4
时，取到最大值
25
4
.
故
2 2
AC BD
的最大值是
25 .
4
----------------------------------------------------------------10 分
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18. 解：设
i
A
，
i
B
，
i
C
表示第
i
次种植作物
A
，
B
，
C
的事件，其中
1i
，2，3.
（1）在第一次种植
B
的情况下，第三次种植
A
的概率为
3 2 1 3 2
( ) ( | ) ( | )P A P C B P A C
3 2 3
4 5 10
 
;-----------------------------------------------4 分
（2）由已知条件，在第 1次种植
A
的前提下：
2
1
( ) 3
P B
，
3 2
1
( | ) 4
P A B
，
3 2
3
( | ) 4
P C B
，
2
2
( ) 3
P C
，
3 2
2
( | ) 5
P A C
，
3 2
3
( | ) 5
P B C
，
因为第一次必种植
A
，则随机变量
X
的可能取值为 1，2，----------------------------6 分
2 3 2 3 3 2 2 3 2 2
3 2 3 1 13
( 1) ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) 5 3 4 3 20
P X P C B P B C P B C P C P C B P B  
，
-------------------------------------------------------------------------------------------------------8 分
2 3 2 3 3 2 2 3 2 2
2 2 1 1 7
( 2) ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) 5 3 4 3 20
P X P C A P B A P A C P C P A B P B    
，
-------------------------------------------------------------------------------------------------------10 分
所以
X
的分布列为：
X
1
2
P
13
20
7
20
13 7 27
( ) 1 2
20 20 20
E X  
．--------------------------------------------------------------------12 分
19. 解：以
A
为坐标原点，过
A
作与
AD
垂直的直线为
x
轴，
1
,AD AA
所在的直线分别为
y
轴，
z
轴，建立如图
所示的空间直角坐标系，设直四棱锥的高为
m
，则
 
0, 2, 0 , 2, 1, 0D B 
,
 
1 1
2, 2, , 0,0,C m A m 
，
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 
12, 1,A B m 
，
 
1 1 2, 2,0AC
,
 
10, 2,A D m 
,
设平面
1
A BD
的一个法向量为
 
1 1 1 1
, ,n x y z
，
则
1 1
1 1
0
0
n A B
n A D
 
 
 
 
即
1 1 1
1 1
2 0
2 0
x y mz
y mz
 
 
取
 
13 , 2 , 4n m m
.----------------------------2 分
所以点
1
C
到平面
1
A BD
的距离为
1 1 1
2 2 2
1
6 4 10
9 4 16 13 16
n A C m m m
dnm m m
 
 
 
令
2
10 10 17
=17
13 16
m
m
解得
2m
.-----------------------------------4 分
（1）设平面
1 1
AB D
的一个法向量为
 
2 2 2 2
, ,n x y z
,
由
 
12, 1, 2AB  
，
 
10, 2, 2AD
，
则
2 1
2 1
0
0
n AB
n AD
 
 
 
 
即
2 2 2
2 2
2 +2 0
2 +2 0
x y z
y z
 
，取
 
23, 2, 2n 
,
而
2
2, 1, 3
AG  
 
 
 
,所以
 
2
2 20
2 3 + 1 2 + 2= 0
3 3
AG n    
 
,
又
1
AB
与
AE
,
1
AD
共面，故直线
AG
不在平面
1
AED
内.---------------------7 分
说明：能判定正确的得一分，用不同的方法说明理由，只要正确，该问即可满分.
（2）依（1）知平面
1
AED
的一个法向量为
 
23, 2, 2n 
，
易知平面
1 1
AA D
的一个法向量为
 
31,0,0n
,
设二面角
1 1
E AD A 
的平面角为
，
则
1 2
1 2
3 3 17
cos 17
9 4 4 1
n n
n n
 
  
 
 
,故二面角
1 1
E AD A 
的余弦值
3 17
17
.
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