山东省东明县第一中学2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题参考答案

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高一上学期第一次月考 数学试题参考答案
第1页 （共 4页）
2022-2023 学年下学期东明一中高一第一次月考检测
数学试题参考答案及评分标准
2023.03
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.
1—4 CACD 5—8 CBBD
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9.BCD 10.BC 11.ACD 12.BC
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.
1
3
14.
4, 2,1
（注：数据满足
1 3
4k k 
，
2 3
2k k
得 5 分，不满足得 0 分）
15.
2
16.
4 91
91
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.
17.（本小题满分 10 分）
解：（1）由已知
5a
r
，
，
3 4 7a b    
 
………………………………………………2 分
ka b
与
3a b
垂直，
 
2 2
3 (1 3 ) 3 5 7(1 3 ) 3 13 0ka b a b ka k a b b k k  
 
．………………………4 分
解得
23
13
k
；…………………………………………………………………………………………………5 分
（2）
a
与
a b
的夹角为锐角，
2
( ) 5 7 0a a b a a b
 
 
 
，得
5
7
.……………………………………………………7 分
又
0
时，
a b a
 
，两向量夹角为 0，………………………………………………………………8 分
所以
5
7
且
0
．………………………………………………………………………………………10 分
18. （本小题满分 12 分）
证明：构造向量
(u a
，
)b
，
(v c
，
)d
………………………………………………………………4 分
cosu v u v
 
 
（其中
为
u
，
v
的夹角）
2 2 2 2 cosac bd a b c d
 
，
2
cos 1
，……………………………………………………10 分
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
cosac bd a b c d a b c d
    （ ） （ （） ） （ （） ）
高一上学期第一次月考 数学试题参考答案
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2 2 2 2 2
ac bd a b c d   （ ） （ （） ）
………………………………………………………………………12 分
注：本小题使用非向量法证明得 0 分.
19. （本小题满分 12 分）
解：(1)根据正弦定理，
3 sin cos 0a C c A c  
即为
3 sin sin sin cos sin 0A C C A C  
……………………………………………………………2 分
因为在
ABC
中，
sin 0C
，所以
3 sin cos 1 0A A  
，
即
1
sin( )
6 2
A
 
，…………………………………………………………………………………………4 分
因为
0A
 
，
1
sin( ) 0
6 2
A
 
，所以
5
06 6
A
 
 
，
所以
6 6
A
 
 
，即
3
A
.………………………………………………………………………………6 分
(2) 由
3
A
，
1 3
sin
2 2
S bc A 
，得
2bc
.………………………………………………………8 分
由余弦定理，得
2 2 2 2
2 cos ( ) 2 2 cosa b c bc A b c bc bc A    
，
因为
2a
，所以
2
( ) 2 2 2 2cos 2
3
b c
   
，即
2 2b c 
，……………………………10 分
又
2bc
，所以
2b c 
.………………………………………………………………………………12 分
20.（本小题满分 12 分）
解：(1)
ABC
为直角三角形,………………………………………………………………………………1 分
证明如下：
在
ABC
中，由正弦定理得
sin cos sinB A C
,…………………………………………………………2 分
又
A B C
 
,所以
sin cos sin( ) sin cos cos sinB A A B A B A B  
,
化简得
sin cos 0A B
，
,所以
cos 0B
，……………………………………………………4 分
因为
(0, )B
，所以
2
B
,
所以
ABC
为直角三角形.……………………………………………………………………………………6 分
（3）在
ABD
中，
sin
sin AD BAD
ABD BD
 
,
因为
2AD
，
5BD
，
3
BAD
 
，所以
3
sin 5
ABD 
，………………………………………8 分
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