湖南省常德市第一中学2024届高三上学期第四次月考试题+数学+含解析

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常德市一中 2024 届高三第四次月水平检测
数 学
时量：120 分钟 满分：150 分
命题人： 审题人：
一、单选题（本题共 8 个小题，每小题 5 分，总分 40 分）
1．已知 是实数集，集合 ， ，则 （）
A．B．C．D．
2．已知 ，则 （）.
A．B．C．2 D．1
3．圆锥的高为 2，其侧面展开图的圆心角为 ，则该圆锥的体积为（）.
A．B．C．D．
4．已知 是相互垂直的单位向量.若向量 ， ，则向量 在向量 上的投影向量为（）
A．B．
C．D．
5．数列 1， ， ，…， ，…的前 项和为（）．
A．B．C．D．
6．我国油纸伞的制作工艺巧妙．如图（1），伞不管是张开还是收拢，伞柄 始终平分同一平面内两条伞骨所成
的角 ，且 ，从而保证伞圈 能够沿着伞柄滑动．如图（2），伞完全收拢时，伞圈 已滑动到
的位置，且 、 、 三点共线， ， 为 的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈 沿着伞柄
向下滑动的距离为 ，则当伞完全张开时， 的余弦值是（　　）
 
A．B．C．D．
7．已知正方体 的棱长为 是正方形 （含边界）内的动点，点 到平面 的距离等
于 ，则 两点间距离的最大值为（）
A．B．3 C．D．
8．已知函数 的图像上有且仅有四个不同的点关于直线 对称的点在 的图像
上，则实数 的取值范围是（）
A．B．C．D．
二、多选题（本题共 4 个小题，每小题 5 分，总分 20 分）
9．已知平面向量 .下列命题中的真命题有（）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 且 与 的夹角为 ，则
10．等差数列 的前 项和记为 ，若 ，则成立的是（）
A． B． 的最大值是
C． D．当 时， 最大值为
11．已知函数 ，则下列说法正确的是（）
A．若 在区间 上单调递增，则 B．若 ，则直线 为曲线 的一条对称轴
C．若 ，则 D．若 ，则曲线 与直线 有 5个交
点
12．已知正方体 的棱长为 1，点 E，F分别是棱 AD，AB 上的动点，G是棱 的中点，以
为底面作三棱柱 ，顶点 也在正方体的表面上．设 ，则（）
A． ，直线 与直线 所成的角均为
B． ，使得四面体 的体积为
C．当 时，直线 与平面 所成角的正切值为
D．当 时，若三棱柱 为正三棱柱，则其高为
三、填空题（本题共 4 个小题，每小题 5 分，总分 20 分）
13．已知等差数列 的前 n项和为 ，满足 ， ，则 .
14．已知 ， ，且 ，若 恒成立，则实数 的取值范围为.
15．开封铁塔是宋都开封具有代表性的文物，是文物价值最高、份量最重的宝物之一．
1961 年，它被国务院定为中国首批国家重点保护文物之一．如图，为测量开封铁塔的高
度，选择 和一个楼房 的楼顶 为测量观测点，已知 在水平地面上，开封铁塔
和楼房 都垂直于地面．已知 ， ， ，在 点处测
得 点的仰角为 ，在 点处测得 点的仰角为 ，则开封铁塔 的高度为 ．

16．已知函数 ， ，若存在实数 使 在 上有 2个零点，则
的取值范围为．
四、解答题（本题共 6 个小题，总分 70 分）
17．（10 分）如图，四边形 是边长为 1的正方形， 平面 ，
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