湖南省常德市第一中学2023-2024学年高三上学期第二次月考 数学答案

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试卷第 1页，共 10页
常德市第一中学 2024 届高三第二次月水平检测
数 学
（ 时量：120 分钟 满分：150 分 命题人、审题人：高三数学组）
一．单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。每小题只有一个答案符合题意）
1．若集合
 
{ 3}, 2 1, ZA x x B x x n n   ∣ ∣
，则
A B
（ ）
A．
 
1,1
B．
 
3,3
C．
 
1,1
D．
 
3, 1,1,3 
【答案】C【详解】解
3x
得
3 3x 
，即
 
3,3A 
，B为奇数集，故
.故选：C
2．
 
 
10
2
22
1
9 10 log log 2
4
 
 
 
 
的值等于（ ）
A．-2 B．0 C．8 D．10
【答案】A【详解】
 
 
 
10
2
22
1
9 10 log log 2 3 1 2 2 2
4
 
 
 
 
.故选：A.
3．函数
 
f x
的图象如下图所示，则
 
f x
的解析式可能为（ ）
A．
 
2
5 e e
2
x x
x
B．
2
5sin
1
x
x
C．
 
2
5 e e
2
x x
x
D．
2
5cos
1
x
x
【答案】D【详解】由图知：函数图象关于 y轴对称，其为偶函数，且
( 2) (2) 0f f 
，
由
2 2
5sin( ) 5sin
( ) 1 1
x x
x x
 
 
且定义域为 R，即 B中函数为奇函数，排除；
当
0x
时
、
，即 A、C中
(0, )
上函数值为正，排除；故选：D
4．《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的
瞬间（如图）．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为
4
m
，肩宽约为
8
m
，
“弓”所在圆的半径约为
5m
4
，则掷铁饼者双手之间的距离约为（参考数据：
2 1 .4 1 4
，
3 1.732
）（ ）
A．1.012m B．1.768m C．2.043m D．2.945m
【答案】B【详解】如图所示，由题意知“弓”所在的弧
ACB
的长
5
4 4 8 8
l
  
 
，其所
对圆心角
5
8
52
4
 
，则两手之间的距离
 
5
2 2 sin 1.768 m
4 4
AB AD
 
．故选：B．
5．“
9
4
a
”是“方程
23 0( ) x x a x R
有正实数根”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
{#{QQABZYAQogiIABAAARhCQQGQCAMQkBAACCgGBFAIsAAASRNABAA=}#}
试卷第 2页，共 10页
【答案】B【详解】由方程
23 0x x a  
有正实数根，则等价于函数
 
23f x x x a  
有正零点，
由二次函数
 
f x
的对称轴为
30
2
x 
，则函数
 
f x
只能存在一正一负的两个零点，
则
 
Δ 9 4 0
0 0
a
f
 
，解得
 
9
0, ,0 , 4
a 
  
 
，故选：B.
6.设正实数 满足 ，则当
z
xy
取得最小值时，
2x y z 
的最大值为（ ）
A．
0
B．
9
8
C．
2
D．
9
4
【答案】C【详解】
2 2
3 4 4 4
3 2 3 1,
z x xy y x y x y
xy xy y x y x
 
 
当且仅当
2x y
时成立，因此
2 2 2 2
4 6 4 2 ,z y y y y  
所以
 
2
2
2 4 2 2 1 2 2.x y z y y y  
7．已知函数
 
f x
是奇函数
 
f x x R
的导函数，且满足
0x
时，
   
1
ln 0x f x f x
x
 
，则不等式
 
985 0x f x 
的解集为（ ）
A．
 
985, 
B．
 
985,985
C．
 
985, 0
D．
 
0,985
【答案】D【详解】令函数
   
lng x x f x 
，则
     
1ln 0g x f x x f x
x
 
 
，即当
0x
时，函数
 
g x
单调递减，
因为
 
1 0g
，所以当
0 1x 
时，
 
0g x
，当
1x
时，
 
0g x
.
因为当
0 1x 
时，
ln 0x
，当
1x
时，
ln 0x
，所以当
 
0,1 1,x 
时，
 
0f x
.
又
   
1 ln1 1 0f f
 
，
 
1 0f
，所以当
0x
时，
 
0f x
；又
 
f x
为奇函数，所以当
0x
时，
 
0f x
，
所以不等式
 
985 0x f x 
可化为
0
985 0
x
x
 
或
0
985 0
x
x
 
，解得
0 985x 
，不等式解集为
 
0,985
8．已知直线
y kx b 
与曲线
e 2
x
y 
和曲线
 
2
ln ey x
均相切，则实数
k
的解的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无数
【答案】C【详解】根据题意可知，直线
y kx b 
与曲线
e 2
x
y 
和曲线
 
2
ln ey x
都相切，
所以对于曲线
e 2
x
y 
，则
ex
y k
 
，所以
lnx k
，所以切点
 
ln , 2A k k
，
对于曲线
 
2
ln ey x
，则
 
10y k x
x
 
，所以
1
xk
=
，切点
 
1 1
, ln 2 0B k
k k
 
 
 
 
，易知 A,B不重合，
因为公切线过
,A B
两点，所以
1
ln ln
1 1
ln ln
A B
A B
k
y y k k
k
kx x k k
k k
 
 
，进而可得
ln ln 1 0k k k k  
，
令
 
ln ln 1 0g k k k k k k  
，则
 
1
ln 0g k k k
k
 
，
{#{QQABZYAQogiIABAAARhCQQGQCAMQkBAACCgGBFAIsAAASRNABAA=}#}
试卷第 3页，共 10页
令
1
( ) ( ) ln ( 0)k g k k k
k
 
，则
2
1 1
( ) 0( 0)k k
k k
 
所以
 
g k
在
(0, )
单调递增，
因为
 
1
1 1 0, e 1 0
e
g g
 
 
，所以存在
0
k
使得
0
0
1
ln 0kk
 
，即
0
0
1
ln kk
，
所以当
0
0k k 
时，
 
0g k
，当
0
k k
时，
 
0g k
，所以
 
g k
在
 
0
0, k
上单调递减，在
 
0,k
上单调递增，
 
01,ek
，故
 
0 0 0 0 0
min ln ln 1g k g k k k k k  
.又
0
0
1
ln kk
，所以
 
0 0 0
min
0 0 0
1 1 1
1 0g k k k k
k k k
 
，
当
2
k e
时，
 
2 2 2 2 2 2
e e ln e ln e e 1 e 3 0g  
，因为
 
 
2
0 0
1, e , e 0k g k g 
，
所以在
 
2
0, ek
内存在
1
k
，使得
 
10g k
，
当
2
1
e
k
时，
 
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 3
ln ln 1 1 0
e e e e e e
g k g  
 
 
 
，因为
 
01,ek
，
 
02
10
e
g k g
 
 
，
所以在
0
2
1,
ek
 
 
 
内存在
2
k
，使得
 
20g k
，
综上所述，存在两条斜率分别为
1
k
，
2
k
的直线与曲线
e 2
x
y 
和曲线
 
2
ln ey x
都相切，故选：C.
二．多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，多选错选不得分，少选得两分）
9．设
0a b 
．且
2a b 
，则（ ）
A．
1 2b 
B．
1 2a 
C．
0 2 1
a b
 
D．
 
0 ln 1b a  
【答案】AC【详解】因为
0a b 
．且
2a b 
，所以
0 2 b b  
，即
1 2b 
，故 A正确；
由
0 2a a  
，可得
0 1a 
，故 B错误；由题可知
0a b 
，所以
0 2 1
a b
 
，故 C正确；
取
1 1
0 1 1
2e 2e
a b    
，可得
1
e
b a 
，所以
 
ln 1 0b a  
，故 D错误.故选：AC.
10．下列说法正确的有（）
A．
tan 2cos3sin 4 0
B．
sin( ) cos
2 2
A B c
ABC
 中，
C．
sin sin , = +2 ,A B B A k k Z
 若 则
D．
1 sin 1 sin
( ,0), 2 tan
2 1 sin 1 sin a
 
 
 
 
 
【答案】ABD
11.已知函数
, 1
( ) 1
ln , 1
xx
f x x
x x
，
( )g x kx k 
，则（ ）
A．
( )f x
在
R
上为增函数 B．当
1
4
k
时，方程
( ) ( )f x g x
有且只有 3个不同实根
C．
( )f x
的值域为
 
1, 
D．若
 
1 ( ) ( ) 0x f x g x  
，则
1,k 
【答案】BCD【详解】根据函数解析式作出函数图象，
由图象易知，
( )f x
在
R
上不是增函数，故 A错误；
当
1x
时，
1
( )f x x
，则
(1) 1f
，
( )g x
过定点
(1, 0)
，当
1
4
k
时，
( )g x
与
( )f x
在
1x
上相交，共 2个交点；
{#{QQABZYAQogiIABAAARhCQQGQCAMQkBAACCgGBFAIsAAASRNABAA=}#}
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