湖南省常德市第一中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（解析版）

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常德市一中 2023 年下学期高二年级期中考试试卷
数学
（时量：120 分钟 满分：150 分 命题人： ）
一、单项选择题（每小题 5分，共 40 分）
1. 直线 的一个方向向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据直线的斜率先得到直线的一个方向向量，然后根据方向向量均共线，求解出结果.
【详解】因为直线 的斜率为 ，所以直线的一个方向向量为 ，
又因为 与 共线，所以 的一个方向向量可以是 ，
故选：A.
2. 设 ， ， 与 垂直，则 等于（ ）
A. 6 B. 14 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知向量坐标求 的坐标，再由空间向量垂直的坐标表示求 .
【详解】由题设， ，
∴ ，
∴.
故选：C
3. 已知焦点在 轴上的双曲线的焦距为 ，焦点到渐近线的距离为 ，则双曲线的方程为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】 ，焦点到渐近线的距离为 ，说明 ，则 ，
∴双曲线的方程为
故选:B
4. 设 是正三棱锥， 是 的重心， 是 上的一点，且 ，若
，则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用空间向量的基本定理可计算得出 ，由已知条件可得出
，进而可求得 、 、 的值，由此可求得结果．
【详解】如下图所示，连接 并延长交 于点 ，则点 为 的中点，
为 的重心，可得 ，
而 ，
，
所以， ，
所以， ，因此， ．
故选：C
5. 若直线 始终平分圆 的周长，则 的最小值为
（ ）
A. B. 5 C. D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】由题意已知 可表示直线 上的点到点 的距离最小值，代入点
到直线的距离即可求得答案.
【详解】解：由题意知，圆的一般方程为
圆的标准方程为：
因为 恰好过圆心，且圆心为 ，代入得：
的最小值可表示点 到直线 的距离平方的最小值
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