湖南省2024届高三10月联考 数学试题 答案

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高三数学试卷参考答案
1．Ap的否定是
 
0,1x 
，
33
3
x
．
2．B因为
 
4,8A
，
 
1, 2, 4B
，所以
 
1, 2, 4,8A B
，故
A B
的元素的个数为 4．
3．C
 
2
2
1
9 2 2 9 2 4f x x x
   
，当且仅当
41
9
x
时，等号成立，所以
的最小值为 4．
4．D设第
 
i i 1, 2, ,11
年的销售额为
i
a
万元，依题意可得数列
 
ii 1, 2, ,11a
是首项为 a，公比为
1.2 的等比数列，则该公司从第 1年到第 11 年的销售总额为
   
 
11 11
1 1.2 1.2 1 1
02 . 2
21 0.2
7.43 3 .15
1 .
a a aa
 
万元．
5．C因为
 
1f x
是奇函数，所以
 
1 1f x f x  
，则
 
1 0f
．又
 
2 3f x
是偶函数，所以
 
2 3 2 3f x f x 
，所以
 
5 1 0f f 
．
6．A因为
1
tan tan cos
 
 
，所以
sin sin 1
cos cos cos
 
 
 
，所以
sin cos cos sin cos
 
 
，
即
 
sin sin 2
 
 
 
 
 
．又
0, 2
 
 
 
，
0, 2
 
 
 
，所以
2
 
 
，即
22
 
 
或
2
 
   
，即
2
（舍去）．
7．A令
 
1 1
12
m k k
  Z
，得
 
1 1
12
m k k
  Z
，所以曲线
 
y f x
关于直线
 
1 1
12
x k k
  Z
对称．令
 
2 2
46 2
m k k
 
   Z
，得
 
2
2
12 4
k
m k
  Z
，所以曲线
 
y g x
关于直线
 
2
2
12 4
k
x k
  Z
对称．因为
 
1 1
12 km m k
 
 
 
 
Z
真包含于
 
2
2
12 4
mkkm
 
 
 
Z
，
所以“曲线
 
y f x
关于直线
x m
对称”是“曲线
 
y g x
关于直线
x m
对称”的充分不必要条件．
8．A如图，设
DE k DA
 
，
DF k DC
 
，设 P是直线 EF 上一点，令
DP xDE y DF 
  
，则
1x y 
，
 
k x y k
 
 
．因为 P是四个半圆弧上的一动点，所以当 EF 与图形下面半圆相切时，
 
取得最
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大值．设线段 AB 的中点为 M，线段 AC 的中点为
1
O
，连接 MP，连接
1
DO
并延长使之与 EF 交于点
2
O
，过 M
作
2
MN DO
，垂足为 N．因为
120ABC  
，
2AB
，所以
11DO
，
1 2 1 2 1
3
2
O O O N NO O N MP   
，
则
2
5
2
DO
．
由
DAC DEF△ ∽△
，得
2
1
5
2
DO
DE
kDA DO
 
，故
 
的最大值为
5
2
．
9．ACD
 
2
1
lg 10 lg10 1
2
f x x
 
 
 
 
 
 
 
 
，A正确．因为当且仅当
1
2
x
时，
 
f x
取得最小值，且最
小值为 1，所以
 
1 1f
，所以
 
1 2f f x 
，B错误．因为
9
lg 2 lg 2 1
0 log 2 lg 9 lg 8 3
  
，所以
9
1 1
log 2 2 6
 
，又
2 1 1
3 2 6
 
，且
 
f x
在
1
,2
 

 
 
上单调递减，在
1,
2
 

 
 
上单调递增，所以
 
9
2
log 2 3
f f  
 
 
，C正确．
因为
0.1 0.2 0.18
9 3 3 1 
，所以
0.1 0.18
1 1 1
9 3
2 2 2
   
，所以，D正确．
10．ABC 当
37a
时，公差
2d
，
7 3 4 7 8 15a a d  
，A正确．因为
 
n
a
是正项等差数列，所以
15 0a d 
，且
0d
，所以公差 d的取值范围是
0,5
，D错误．因为
45 2a d 
，所以
4
a
的取值范围
是
5,15
，B正确．
75 5 5,30a d 
，当
7
a
为整数时，
7
a
的最大值为 29，C正确．
11．BD 对于选项 A，当
11x
时，
 
10f x
，此时不存在
2
x
，使得
  
1 2 1f x f x
．A不正确．对于选
项B，由
 
f x
，
 
1
f x
的定义域相同，若
 
f x
是“A函数”，则对于任意
1
x D
，都存在唯一的
2
x D
，
使得
  
1 2 1f x f x
，则对于任意
1
x D
，都存在唯一的
2
x D
，使得
 
1 2
1 1 1
f x f x
 
，所以
 
1
f x
也
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是“A函数”．B正确．对于选项 C，不妨取
 
f x x
，
 
1
g x x
，
 
0,x 
，令
     
12F x f x g x x x
 
，则
 
1 2 4F x F x
，故
   
f x g x
不是“A函数”．C不正确．对于
选项 D，因为
 
sinf x m x 
，
,
2 2
x
 
 
 
 
 
，是“A函数”，所以
sin 0m x 
在
,
2 2
 
 
 
 
上恒成立．又
0m
，所以
1 0m 
，且
 
1 2
sin sin 1m mx x  
，即对于任意
1,
2 2
x
 
 
 
 
 
，都存在唯一的
2,
2 2
x
 
 
 
 
 
，使得
2
1
sin s
1
in m
m
xx
 
，因为
11sin1m xm m    
，所以
1
n
1
i
1 1
1 1s
m m m
xm m m
   
 
，由
11
1
11
1
m
m
m
m
 
 
，解得
2m
．D正确．
12．AD 设函数
   
 
10
f x
g x x
x f x
 
，
则
       
 
       
 
2 3 2
2 2
220
xf x f x f x x f x
xf x f x f x
g x xf x x f x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
，
所以
 
g x
在
 
0, 
上单调递减，B错误，D正确．
从而
 
1 2g g
，即
 
 
 
 
1 2
1 1
1 1 2 2
f f
f f
 
，因为
 
0f x
，所以
 
1 0f
，
 
2 0f
，所以
     
1
1 2 1 2 1 2
2
f f f f f f
 
 
 
 
，C错误，A正确．
光速解法：取
 
0f x x x 
，满足
 
0f x
且
       
2 3
2
xf x f x x f x f x
 
 
   
   
，则
     
1
1 2 1 2 1 2
2
f f f f f f
 
 
 
 
，
 
0,a  
，函数
 
 
0
f x a
y x
x f x
 
为单调函数．
13．1向量
 
, 2AB x x
在向量
 
3, 4AC  
上的投影向量为
3 8
25
AB AC AC x x AC
AC AC
 
 
 
 
，则
1 3 8
5 25
x x
 
，解得
1x
．
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