2023届湖南省长沙市第一中学高三模拟试卷（一）数学答案和解析

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长沙市一中 2023 模拟试卷（一）数学
一､单项选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1. 已知集合
 
2
R 4 , 3 9
x
A x x B x  ∣ ∣
，则（ ）
A.
A B B
B.
A B R
C.
A B A
D.
A B A 
【答案】C
【解析】
【分析】求出集合
,A B
，再由交集和并集的定义即可得出答案.
【详解】因为
 
 
 
 
2
R 4 2 2 , 3 9 2
x
A x x x x B x x x   ∣ ∣ ∣ ∣
，
所以
A B A
，
A B B 
.
故选：C.
2. 设
，则“
1a
”是“
5z
”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数模的计算公式及充分条件、必要条件的定义判断即可
【详解】由题意得
2
2i 2i
i
a
z a
 
，所以
2 2 2
( 2) 4z a a   
，
因为
5z
，所以
24 5a 
，解得
1a
或
1a 
，
故“
1a
”是“
5z
”的充分不必要条件.
故选：A
3. 天文计算的需要，促进了三角学和几何学的发展．10 世纪的科学家比鲁尼的著作《马苏德规律》一书中
记录了在三角学方面的一些创造性的工作．比鲁尼给出了一种测量地球半径的方法：先用边长带有刻度的
正方形 ABCD 测得一座山的高
GT h
（如图①），再于山顶 T处悬一直径为 SP 且可以转动的圆环（如图
②），从山顶 T处观测地平线上的一点 I，测得
OTI
 
．由此可以算得地球的半径
r
（ ）
A.
sin
1 sin
h
B.
cos
1 sin
h
C.
sin
1 cos
h
D.
cos
1 cos
h
【答案】A
【解析】
【分析】根据解直角三角形，结合正弦函数的概念即可求得答案.
【详解】由图可知，
OI TI
,故
sin
OI r
OT r h
 
，解得
sin
1 sin
h
r
，
故选：A．
4. 已知函数
( )f x
的局部图象如图所示，则
( )f x
的解析式可以是（ ）
A.
1
( ) sin 2
x
f x e x
 
B.
1
| |
( ) cos 2
x
f x e x
 
C.
( ) ln | | sin 2
f x x x
 
D.
( ) ln | | cos 2
f x x x
【答案】D
【解析】
【分析】利用排除法，根据奇偶性和
 
f x
在
 
0,1x
时的函数值正负可排除.
【详解】由图可得
 
f x
的图象关于
y
轴对称，即
 
f x
为偶函数，
其中 A选项，
 
1 1
( ) sin sin
2 2
x x
f x e x e x f x
 
 
   
 
 
，故
 
f x
为奇函数，与图象不符，故排
除A；
C选项，
 
( ) ln | | sin ln | | sin
2 2
f x x x x x f x
 
 
   
 
 
，故
 
f x
为奇函数，与图象不符，故
排除 C；
B选项，当
 
0,1x
时，
1
0
x
e
，
cos 0
2x
，则
 
0f x
，与图象不符，故排除 B.
故选：D.
5. 已知
π 3
sin cos
6 5
 
 
 
 
 
，则
π
cos 2 3
 
 
 
 
（ ）
A.
7
25
B.
7
25
C.
24
25
D.
24
25
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角恒等变换公式求解.
【详解】
π 3 1 3
sin cos sin cos cos ,
6 2 2 5
 
 
   
 
 
所以
3 1 3
sin cos
2 2 5
 
 
，
所以
π 3
sin ,
6 5
 
 
 
 
2
π π π 9 7
cos 2 cos2 1 2sin 1 2 ,
3 6 6 25 25
 
   
   
   
   
故选:B.
6. 已知函数
 
π
sin (1 2)
6
f x x
 
 
 
 
 
，若存在
1 2
, Rx x
，当
1 2 2πx x 
时，
 
1 2 0f x f x 
，
则函数
 
f x
的
最小正周期为（ ）
A.
2π
3
B.
4π
3
C.
2π
D.
4π
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可得出
2π
2
T
k 
，结合
1 2
 
，可得
3
2
，再由三角函数最小正周期的公式即可得
出答案.
【详解】因
为
存在
1 2
, Rx x
，当
1 2 2πx x 
时，
 
1 2 0f x f x 
，
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