2023届湖南省岳阳市高三教学质量监测（二）数学答案
高三二模数学答案 第 1页 共 8页
岳阳市 2023 届高三教学质量监测（二）
数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1．B 2．C 3．D 4．B5．D 6．C 7．D 8．A
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
9．AC 10．BD 11．ACD 12．CD
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。
13．214．— 10 15．23 2xx +− （答案不唯一，
∈3
7
,
2
3
m均可） 16．3, 45
4003
四、解答题：本大题共 6小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题满分 10 分）
解：（ 1 ）在 ABC∆中，由 A
CB
CC sin
sinsin
cossin3 +
=+ 可得
CCAACCCAACAC sinsincossinsin3sin)sin(sincossinsin3 +=⇒++=+
2
1
)
6
sin(1cossin3,0sin =−⇒=−∴> π
AAACQ…………………2分
)
6
5
,
6
(
6
),0( πππ
π−∈−∴∈ AAQ
366
πππ =⇒=−∴ AA …………………4分
（2）2,
3
)(
2
1
sin
2
1==++==
∆rArcbaAbcS ABC
π
且
cbbcacbabc −−=++=⇒ 4
3
)(2
2
3即 …………………5分
由余弦定理有： bccbaAbccba −+=⇒−+= 222222 cos2 ………6分
bccbcbbc 3)()
4
3
(22 −+=−−所以
于是 ==
+
≤=−+ 时取当且仅当 cb
cb
bccb ,)
2
(
16
3
16
3
3)(
2
32
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所以 3
38
380364)(32)3 2≤+≥+⇒≥++−+ cbcbcbcb 或（ ………8分
34
6
tan
2
2
3
,2 =×>+== π
πcbAr 知由
所以 3838 min =+⇒≥+ ）（ cbcb …………………10 分
18．（本题满分 12 分）
解：（ 1 ）由 1
122 +
++= n
nn SS 得1
22 1
1+=
+
+
n
n
n
nSS ， …………………1分
所以数列
n
n
S
2是以 2
1
2
1=
S为首项，公差为 1的等差数列……………2分
∴2
12
)1(
2
1
2
−
=−+= n
n
S
n
n，即 1
2)12( −
⋅−= n
nnS …………………3分
∴当 2≥n时，
221
12)12(2)32(2)12( −−−
−⋅+=⋅−−⋅−=−= nnn
nnn nnnSSa ……………5分
又11a=不满足上式，所以 2
1,
,2)12(
1
2≥
=
⋅+
=−n
n
n
an
n……………6分
（2）由（1）知 1
2)12( −
⋅−= n
nnS ， …………………7分
∴n
n
n
nn
n
b)
3
2
()
2
1
(
3
2)12( 1⋅−=
⋅−
=−
………………8分
∴nnn
nn
n
nnbb )
3
2
)(
6
25
()
3
2
)(
2
1
()
3
2
)(
2
1
(1
1
−
=−−+=− +
+………………9分
∴当 2≤n时， nn bb >
+1；
当3≥n时， nn bb <
+1，即 L>>><< 54321 bbbbb ……………10 分
所以 n
b的最大值为 27
20
3=b，依题意 27
18
27
20 2+−
<mm 即02
2>−− mm ，
解得 1−<m或2>m。 …………………12 分
19．（本题满分 12 分）
解：(1)证明：∵CD⊥AD，CD⊥BD，AD∩BD＝D，
∴CD⊥平面 ABD，∵AB⊂平面 ABD，∴CD⊥AB
．
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又∵M，E分别为 AC，BC 的中点，
∴ME∥AB，∴CD⊥ME.………………4分
(2)选①，在图 1所示的△ABC 中，由tan2B
＝－4
3＝2tan B
1－tan2B，
解得 tan B＝2或tan B＝－1
2(舍去)． …………………5分
设AD＝CD＝x，在Rt△ABD 中，tan B＝AD
BD＝x
3－x＝2，
解得 x＝2，∴BD＝1. …………………6分
以点 D为原点，DB，DC，DA 分别为 x，y，z轴建立如图所示的坐标系 D xyz，
D(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,2,0)，A(0,0,2)，M(0,1,1)，E
1
2，1，0，
则BM
→＝(－1,1,1)．
设N(0,a,0)，则EN
→＝－1
2，a－1，0.
∵EN⊥BM，∴EN
→·BM
→＝0，即 －1
2，a－1，0·(－1,1,1)＝0，解得 a＝1
2，
∴N0，1
2，0，∴当 DN＝1
2(即N是CD 的靠近 D的一个四等分点)时，EN⊥BM.
…………………8分
设平面 BMN 的一个法向量为n＝(x，y，z)，且BN
→＝－1，1
2，0，
由n·BN
→＝0，
n·BM
→＝0，
得
－x＋1
2y＝0，
－x＋y＋z＝0，
令x＝1，则n＝(1,2，－1)．
取平面 CBN 的一个法向量 m＝(0,0,1)，…………………10 分
则|cos〈m，n〉|＝|m·n
|m||n||＝|(0，0，1)·(1，2，－1)|
12＋22＋(－1)2＝6
6，
∴平面 BMN 与平面 CBN 的夹角的余弦值为 6
6.…………………12 分
选②，在图 1所示的△ABC 中，设BD
→＝λBC
→，
则AD
→＝AB
→＋BD
→＝AB
→＋λBC
→＝AB
→＋λ(AC
→－AB
→)＝(1－λ)AB
→＋λAC
→，
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