河南省郑州市2023届高三下学期第二次质量预测试题 数学（文） 含答案

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郑州市 2023 年高中毕业年级第二次质量预测
文科数学试题卷
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷(选择题，共 60 分)
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.
1. 已知集合
A=x∨¿x∨≤1, B=x∨2ˣ>1,
,则 A∩B
A.[1,+∞) B.[1,+∞) C.(0,1] D.(0,1)
2. 已知复数
z=1+2i
(
i
为虚数单位)，则
z
的虚部为
A.-1 B.-2 C.-
i
D.-2
3. 命题:
∀x∈R , x +ln x>0
的否定是
A.
∀x∉R , x +ln x>0
B.
∀x∉R , x +ln x ≤0
C.
D.
∃x∈R , x+ln x≤ 0
4. 攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒
尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑.如故宫中和殿的屋顶为四角攒
尖顶，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，设正四棱锥的侧面等腰三
角形的顶角为 60°，则该正四棱锥的侧面积与底面积的比为
A .
❑
√
3
4
B .
❑
√
3
3
C .
❑
√
3
2
D .❑
√
3
5. 已知数列{
an
}满足
a1=1
2, an+1=1−1
an
(
n∈N∗
)
,
则
a2023=¿
A.-1 B.2
C . 1
2
D.3
6. 尽管目前人类还无法精准预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解 .例如，地震释放出的能量
E(单位：焦耳)与地震里氏震级 M 之间的关系式为
lg E=4.8+1.5 M .
北京时间 2023 年 2 月 6 日 9 时 17
分,土耳其发生 7.8 级地震，它所释放出来的能量为
E₁
，2023 年 2 月 28 日 12 时 21 分，塔吉克斯坦发生
4.6 级地震，它所释放出来的能量为
E₂
.则
E₁
大约是
E₂
的
A.102.8
倍
B.101.8
倍 C.
103.8
倍
D.104.8
倍
7. 若函数
f
(
x
)
=2
a x2+bx+c
的部分图象如右图所示,则
f(5)
=
A . − 1
3
B .− 2
3
C . − 1
6
D .− 1
12
8. 人脸识别技术应用在各行各业，改变着人类的生活，而所谓人脸识别，就
是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从申提取出有效的识别信息，最
终判别人脸对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应
用距离的测试，常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.假设二维空间中有两个点A(
x₁, y ₁
),B(
x₂, y ₂
),O为坐标原点,余弦相似度 similarity 为向量
⃗
OA
,
⃗
OB
夹角的余弦值,记作cos(
A , B
),余弦距离
为 1-cos(
A , B
).已知
P(sin α , cos α)
,
Q(sin β , cos β)
,
R(sin α , −cos α)
,若
P ,Q
的余弦距离为
1
3,
，
Q，R
的余弦距离为
1
2,
则
tan α·tan β
=
A.7
B . 1
7
C.4
D . 1
4
9. 已知
3ᵃ=5ᵇ=15 ,
则下列结论正确的是
A.
a
B.
(a − 1)²+(b −1)²>2
C.
ab>5
D.
a²+b²<8
10.已知抛物线
C:y²=4x
和直线
l:❑
√
3x+y+3❑
√
3=0,
点
P(a ,b)
为抛物线 C 上任意一点，设点
P
到直线
l
的
距离为
d
，则
a+d
的最小值为
A.2❑
√
3
B.2
❑
√
3
-1
C.2❑
√
3−2
D .❑
√
3−1
11. 已知正方形
A BCD
的边长为 2，现将△
ACD
沿对角线
AC
翻折，得到三棱锥
D − ABC
.记
AC , BC , A D
的中点分别为
O , M , N ,
则下列结论错误的是
A.
AC
⊥面
BOD
B.三棱锥
D — ABC
体积的最大值为
2❑
√
2
3
C.三棱锥
D − ABC
的外接球的表面积为定值
D.
MN
与面
BOD
所成角的范围是
(
0,π
4
)
12. 函数
f
(
x
)
=
{
xln x , x>0,
x+1, x ≤ 0,
若关于
x
的方程
[f(x)]²−(m+1)f(x)+m=0
恰有 5 个不同的实数根，则实数
m
的
取值范围是
A . − 1
e<m<0
B .− 1
e<m≤ 0
C . − 1
e≤ m<0
D .− 1
e≤m≤0
第Ⅱ卷(非选择题，共 90 分)
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13. 已知
a=(2, k )
,
b=(1,2)
,若
a/¿b ,
则
k
= .
14. 双曲线
C:x2
a2−y2
b2=1a>0, b>0¿
的离心率为
e=❑
√
3,
过双曲线的右焦点作垂直于x 轴的直线交双曲线
C 与 A ， B 两 点 . 设 A ， B 两点到双曲线的同一条 渐 近线的距 离 之 和 为 8 ， 则 双曲线的 焦 距为
.
15. 在△
ABC
中,角
A , B , C
所对的边分别是
a , b , c
,其中
sin C=3 sin A
,
B
=
600, b=❑
√
7.
若
B
的角平分线
BD
交
AC
于点
D
,则
BD
= .
16. 已知定义在R上的偶函数
f(x)
满足
f
(
x
)
=f
(
− x+4
)
, f
(
2024
)
=1
e2,
若
f
(
x
)
− f '
(
x
)
>0,
则不等式
f
(
x+2
)
>eˣ
的解集为 .
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作
答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
(一)必考题:60 分
17. (本小题满分 12 分)在科学、文化、艺术、经济等领域，出现过大量举世瞩目的“左撇子”天才，如：相对
论提出者爱因斯坦，万有引力定律的发现者牛顿，镭的发现者居里夫人，诺贝尔奖获得者杨振宁，著有《变
形记》的小说家弗兰兹卡夫卡，乒乓球女将王楠等。正因为如此多的“左撇子”在不同领域取得了卓越的成
就，所以越来越多的人认为“左撇子”会更聪明，这是真的吗?某学校数学社成员为了了解真相，决定展开
调查。他们从学生中随机选取100 位同学，统计他们惯用左手还高智商人群，统计情况如下表.是惯用右手，
并通过测验获取了他们的智力商数，将智力商数不低于 120 视为
智力商数不低于 120 智力商数低于 120 总计
惯用左手 4 6 10
惯用右手16 74 90
总计 20 80 100
(Ⅰ)能否有 90%的把握认为智力商数与是否惯用左手有关?
(Ⅱ)从智力商数不低于 120 分的这20 名学生中，按惯用左手和惯用右手采用分层抽样，随机抽取了 5 人，
再从这 5 人中随机抽取 2 人代表学校参加区里的素养大赛，求这2 人中至少有一人是惯用左手的概率.
参考公式：
K2=n
(
ad − bc
)
2
(
a+b
) (
c+d
) (
a+c
) (
b+d
)
,
其中
n=a+b+c+d
.
P¿
)0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
k₀
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
18.(本小题满分 12 分)
已知数列
{aₙ}
的前 n项之积为
Tn=2
n
(
n − 1
)
2
(
n∈N∗
)
.
(Ⅰ)求数列
{aₙ}
的通项公式；
(Ⅱ)记
bₘ
为
{aₙ}
在区间(0,
m¿
(
m∈N∗
)
中的项的个数，求数列
{bₘ}
的前 50 项和
S.₅₀
19.(本小题满分 12 分)
《九章算术》卷第五《商功》中有记载：“刍薨者，下有袤有广，而上有袤无广”。刍，草也 .薨，屋盖
也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍薨字面意思为茅草屋顶.”现有“刍薨”如
图所示，四边形
EBCF
为矩形，
BC=2BE=2AE=2AG=4
,且
AG∥EF
.
(Ⅰ)若
O
是四边形
EBCF对
角线的交点，求证:
AO
//平面
GCF ;
(Ⅱ)若
AE⊥EF
,且
∠AEB=2π
3,
求三棱锥 A-BEF的体积.
20.(本小题满分 12 分)
已知椭圆
C:x2
a2+y2
b2=1, a>b>0¿
的焦距为
2❑
√
3, F1, F2
分别为左、右焦点，过
F₁
的直线
l
与椭圆
C
交于
M , N
两点,△
F₂MN
的周长为 8.
(Ⅰ)求椭圆
C
的标准方程；
(Ⅱ)求三角形△
F₂MN
内切圆半径的最大值.
21.(本小题满分 12 分)
已知函数
f
(
x
)
=sin x −mx ³, g
(
x
)
=
(
x −1
)
eˣ ,
(
m∈R
)
.
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