河南省郑州市2023届高三第三次质量预测 理科数学答案

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郑州市 2023 年高中毕业年级第三次质量预测
理科数学 评分参考
一、选择题：本题共
12
小题，每小题
5
分，共
60
分.
1 5.DADDB
6 10.ABBBA
11 12.CC
二、填空题：本题共
4
小题，每小题
5
分，共
分.
13
.
90
；
14
.
 
22
2 1 4;xy  
15
.②③④ ；
16
.
1.m
三、解答题：
17.（12 分）解：（1）设等差数列
 
n
a
的首项为
1
a
，公差为
0d
，
又
2
a
是
1
a
和
5
a
的等比中项，得
51
2
2aaa
，即
 
daada 4
11
2
1
，
即
1
2ad
--------------------------------------------------------------------------------------------------①--------------2 分
又
 
*
212 Nnaa nn
，取
1n
时，
12 12 aa
，即
12 11 ada
-----------------②--------------4 分
将①②联立解得
1
1a
，
2d
，
12 nan
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------6分
（2）由题意可知，
nn
n
b422
，
 
n
nnc 412
-------------------------------------------------------------7 分
 
2 3 1
1 4 3 4 5 4 2 3 4 2 1 4 ,
nn
n
T n n
   
n
T4
 
1432 412432454341
nn nn
 
132 41242424243
nn
nnT
 
1
2412
41
444
243
n
n
nnT
1
42
3
5
3
20
3
n
nnT
1
20 2 5 4.
9 3 9
n
n
n
T

 


-----------------------------------------------------------------------------------------------12 分
18.解：（1）由题意完善列联表如图
男生
女生
总计
选择方案一
100
80
180
选择方案二
200
120
320
总计
300
200
500
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2 分
故
2
2500 (100 120 200 80) 2.315 2.706,
300 200 320 180
K  
 
 
故没有
90%
的把握认为方案的选择与性别有关.-------------------------------------------------------------------5分
（2）设选择方案一的得分为 X，则 X的所有可能取值为
0,1,2,3,4,5
，
则
( 0) 0.4 0.2 0.2 0.016PX 
,
( 1) 0.3 0.2 0.2 0.012PX 
,
( 2) 0.4 2 0.8 0.2 0.128PX  
,
( 3) 0.3 0.2 0.2 0.3 2 0.8 0.2 0.108PX    
，
( 4) 0.4 0.8 0.8 0.256PX 
,
( 5) 0.3 0.8 0.3 0.2 0.8 0.3 0.8 0.8 0.480PX     
,
故X的数学期望
( ) 1 0.012 2 0.128 3 0.108 4 0.256 5 0.480 4.016EX    
.------------------------8分
设选择方案二的得分为 Y,则Y的可能取值为
0,2,4
，
则
( 0) 0.2 0.2 0.2 0.008PY 
,
( 2) 3 0.8 0.2 0.2 0.096PY  
,
2
( 4) 0.8 0.8 2 0.8 0.2 0.896PY  
,
故
( ) 2 0.096 4 0.896 3.776EY  
,----------------------------------------------------------------------------------11 分
因为
( ) ( )E X E Y
,故为了获取更好的得分,我会选择方案一.------------------------------------------------------12 分
19．（12 分）
解：（1）证明：在三棱柱
1 1 1
ABC A B C
中，
11
AA B B
，
1 1 1
AA B B BC  
，
11
A B AB BC
，
11
AA B
1
B BC
，
11
AB CB
，
又
D
为
AC
的中点，
1
B D AC
，
在
ABC
中，
AB BC
，
AD DC
，
BD AC
，
1
B D BD D
，
1
BD
、
BD
平面
1
BDB
，
AC
平面
1
BDB
，
又
1
BB
平面
1
BDB
，
1
AC BB
．----------------------------------------------------------------------------------5分
（2）
1
BB
平面
ABC
，
1
BB AB
，
1
BB BC
，
ABC
为二面角
1
A BB C
的平面角，即
60ABC  
，
ABC
为等边三角形，即
2AC
，
过点
A
作
AO BC
于点
O
，则
3AO
，
又 平面
ABC
平面
11
BCC B
，平面
ABC
平面
11
BCC B BC
，
AO
平面
11
BCC B
，
故直线
1
AB
与平面
11
BCC B
所成角为
1
AB O
，即
1
39
sin 13
AB O
，
设
1
BB y
，则
12
1
3 39
sin 3
13
4
AO
AB O y
AB y
 
，即
13BB
，--------------------------------------7 分
11
ABC B BCC平面 平面
1 1 1 1 1
A B C B BCC平面 平面
，
AB BC
，
60BAC
ABC 是等边三角形
.
取
1
O
为
11
BC
中点，
1 1 1 1
AO B C
，
1 1 1 1 1
A B C B BCC平面 平面
，平面
1 1 1
A B C
平面
1 1 1 1
B BCC B C
，
11
AO
平面
11
B BCC
，
以
1
O
为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则
1(1B
，0，
0)
，
1(1C
，0，
0)
，
(1B
，3，
0)
，
3
(,
1
23, )
2
D
，
1(0,3,0)BB
，
3
( ,0, )
2
3
2
BD 
,
11 (2,0,0)CB
,
1
3
(1
2,0, )
2
CD
，
设平面
1
BB D
与平面
11
C B D
的一个法向量分别为
1 1 1
( , , )m x y z
，
2 2 2
( , , )n x y z
，
由
11
11
3 0,
30,
2
3
2
BB
B
my
m x zD
 
 
取
11x
，得
(1,0, 3)m
；
同理
(0,1,-2 3)n
．-----------------------------------------------------------------------------------------------------10 分
3
cos , -
-6 13
13
13
| || | 2
mn
mn mn
  
．
二面角
11
B B D C
的余弦值
3
-13
13
．----------------------------------------------------------------------------12 分
20.（12 分）
解（1）由题意可知
2
1
a
c
e
，
 
bA ，0
，
又
A
到圆上距离最大值为
 
33312 bb
，
3b
.
又
2 2 2 ,
1,
2
a b c
c
a

解得
4
2a
，
3
2b
.
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