河南省许昌、济源、洛阳、平顶山四市2023届高三第三次质量检测理数试题答案

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23 高三三模理科数学参考答案
一、选择题：（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
1．C 2．D 3．A 4．B 5．C 6．D
7. B 8．B 9．A 10．B 11．D 12．C
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．3 14．7 15．
3
16．
6
三、解答题：（共 70 分）
17.解：（1）
 
110036.0024.0a2010.0006.0
.………………………………1分
解得
0.012a
.…………………………………………………………………………………2分
样本数据在
10,0
，
20,10
，
30,20
，
4030，
，
50,40
，
60,50
的概率分别为
.
则平均值为
8.345512.04524.03536.02512.01510.0506.0
…6分
（2）20 分钟到 60 分钟中各组的频率比为
1:2:3:112.0:24.0:36.0:12.0
.
所以
30,20
应抽
17
7
1
人，
4030，
抽取
37
7
3
人，
50,40
抽取
27
7
2
人，
60,50
抽取
17
7
1
人.
X
的所有可能取值为
3210 ，，，
.………………………………………………………………8分
 
35
4
03
7
3
4C
C
XP
，
 
35
18
13
7
1
3
2
4C
CC
XP
，
 
35
12
23
7
2
3
1
4C
CC
XP
，
 
35
1
33
7
3
3C
C
XP
.
X
分布列为
X
0
1
2
3
P
35
4
35
18
35
12
35
1
………………………………………………………………………………………………10 分
 
7
9
35
1
3
35
12
2
35
18
1
35
4
0XE
.
………………………………………12 分
18.解：（1）
 
212
12
1
1
naS
aS
nn
nn
①—②得
    
2
2
22 1
11
n
a
a
aaaaa
n
n
nnnnn
.
…………2分
由
2
1
a
，
 
2012 1
且
nn aS
， 令
1n
，
52
2
a
，
 
2
1
2
a
a
.
…………………………………………………………………………………4分
 
n
a
为等比数列，则
   
101
2
2
52 2
.
………………………5分
则此时数列
 
n
a
的公比为
3q
，
1
1a
，
1
3
n
n
a
.………………………………6分
（2）
   
1
311
n
nn nanb
.………………………………………………………7分
 
12 3134332
n
nnT
①
 
n
nnT 313433323 32
②
②—①得
 
 
 
n
n
nn
nnnT 31
13
313
231333322
1
132
 
 
nn
n
nn 3
2
1
2
1
31
13
313
2
1
.
……………………………………11 分
整理得
 
4
1312
n
n
n
T
.
………………………………………………………………12 分
19.
①
②
（1）证明：
111 CBAABC
为正三棱柱，
1
AA
平面
111 CBA
又
11CB
平面
111 CBA
，
111 CBAA
.……………………………………………………2分
又
N
为正三角形
111 CBA
边
11CB
的中点，
111 CBNA
111 ANAAA
，
11CB
平面
NMAA
1
.……………………………………………3分
11CB
平面
FECB 11
.
平面
NMAA
1
平面
FECB 11
.…………………………………………………………4分
（2）解：以
M
为原点，
MB
所在直线为
x
轴，
AM
所在直线为
y
轴，
MN
所在直线为
z
轴建立如图所示的空间直角坐标系.………………………………………………………5分
 
2,0,1
1
B
，由（1）知
BC
平面
1
AMNA
，
平面
1
AMNA
的法向量为
 
0,0,1
1MBn
.………………………………………………6分
设
AM
AP
，则
3AP
，
 
13PM
BCEF //
，
AM
AP
BM
EP
，
EP
，
 
 
0,13,
E
 
 
 
2,0,1,0,13, 1MBME
.……………………………8分
设平面
EMB1
的法向量为
 
zyxn ,,
2
 
02
013
0
0
12
2
12
2
zx
yx
MBn
MEn
MBn
MEn
令
1z
，则
 
13
2
,2 yx
，
 
1,
13
2
,2
2
n
.
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