河南省信阳市2023-2024学年高三上学期第一次教学质量检测数学答案

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２０２３－２０２４学年普通高中高三第一次教学质量检测

数学参考答案

一、选择题

１．Ｂ　　２．Ｂ　　３．Ａ　　４．Ｃ　　５．Ｃ　　６．Ｃ　　７．Ａ　　８．Ａ

二、选择题

９．ＢＣＤ　　１０．ＡＢＤ　　１１．ＡＣＤ　　　　１２．ＢＣＤ

三、填空题

１３．［２，＋∞）　　１４．２５

９　１５．－１或０　　１６．９

四、解答题

１７．解：（１）设｛ａｎ｝的公比为ｑ，由题设得ａｎ＝ｑｎ－１．１分……………………………

由已知得ｑ４＝４ｑ２，解得ｑ＝０（舍去）或ｑ＝－２或ｑ＝２．４分………………………

故ａｎ＝（－２）ｎ－１或ａｎ＝２ｎ－１．５分……………………………………………………

（２）若ａｎ＝（－２）ｎ－１，则Ｓｎ＝１－（－２）ｎ

３．

由Ｓｍ＝６３得（－２）ｍ＝－１８８，此方程没有正整数解．７分…………………………

若ａｎ＝２ｎ－１，则Ｓｎ＝１－２ｎ

１－２＝２ｎ－１．由Ｓｍ＝６３得２ｍ＝６４，解得ｍ＝６．

综上，ｍ＝６．１０分……………………………………………………………………

１８．解：（１）由１－ｘ＞０，

１＋ｘ＞０，

{

解得－１＜ｘ＜１．所以函数ｆ（ｘ）的定义域为（－１，１）．２分……

因为ｆ（１

２）＝１－ｌｏｇ３４，所以ｌｏｇ３

１

２＋ａｌｏｇ３

３

２＝１－ｌｏｇ３４．

所以ａｌｏｇ３

３

２＝１－ｌｏｇ３４－ｌｏｇ３

１

２＝１－ｌｏｇ３４×１

２

＝ｌｏｇ３

３

２．又ｌｏｇ３

３

２≠０，

故化简得所求ａ＝１．６分……………………………………………………………

（２）由（１）可知ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ３（１－ｘ）＋ｌｏｇ３（１＋ｘ）＝ｌｏｇ３（１－ｘ２），其中ｘ∈（－１，１）．

所以由题设得关于ｘ的方程ｘ２＋ｘ－１－ｔ＝０在（－１，１）内有两个不同的实数解．

（∗）８分…………………………………………………………………………………

设函数ｇ（ｘ）＝ｘ２＋ｘ－１－ｔ，因为该函数图像的对称轴方程为ｘ＝－１

２

所以结合（∗）知只需

ｇ（－１）＝－１－ｔ＞０，

ｇ－１

２

＝－５

４－ｔ＜０，

ｇ（１）＝１－ｔ＞０，

解得－５

４＜ｔ＜－１．１１分…………………

）页４共（页１第　案答学数三高

{#{QQABLYCQogAIABIAAAhCUwXCCEIQkBGACKoGwBAIsAAAABNABAA=}#}

故所求实数ｔ的取值范围是－５

４，－１

．１２分………………………………………

１９．解：（１）若ａ＝３，则ｆ（ｘ）＝３ｘ＋３·３－ｘ．

所以ｆ（ｘ）≥４，即３ｘ＋３·３－ｘ≥４，即（３ｘ）２－４·３ｘ＋３≥０．所以（３ｘ－１）（３ｘ－３）≥０．

２分……………………………………………………………………………………

所以３ｘ≤１或３ｘ≥３，解得ｘ≤０或ｘ≥１，

即不等式ｆ（ｘ）≥４的解集为（－∞，０］∪［１，＋∞）．５分……………………………

（２）若ｆ（１）＝１０

３，即３＋ａ

３＝１０

３，解得ａ＝１．

所以ｇ（ｘ）＝９ｘ＋９－ｘ＋ｍ（３ｘ＋３－ｘ）＋２ｍ－１＝（３ｘ＋３－ｘ）２＋ｍ（３ｘ＋３－ｘ）＋２ｍ－３．

令ｔ＝３ｘ＋３－ｘ，ｔ∈［２，＋∞），所以ｙ＝ｇ（ｘ）＝ｔ２＋ｍｔ＋２ｍ－３．７分……………………

当－ｍ

２≤２，即ｍ≥－４时，ｙ＝ｔ２＋ｍｔ＋２ｍ－３在［２，＋∞）上单调递增，

所以ｙｍｉｎ＝２２＋２ｍ＋２ｍ－３＝４ｍ＋１，即ｇ（ｘ）ｍｉｎ＝４ｍ＋１．９分…………………………

当－ｍ

２＞２，即ｍ＜－４时，ｙ＝ｔ２＋ｍｔ＋２ｍ－３在２，－ｍ

２

上单调递减，在－ｍ

２，＋∞

上单

调递增，

所以ｙｍｉｎ＝－ｍ

２

＋ｍ·－ｍ

２

＋２ｍ－３＝－ｍ２

４＋２ｍ－３，即ｇ（ｘ）ｍｉｎ＝－ｍ２

４＋２ｍ－３．

１１分

……

…………………………………………………………………………………

综上，ｇ（ｘ）ｍｉｎ＝－ｍ２

４＋２ｍ－３，ｍ＜－４，

４ｍ＋１，ｍ≥－４．

１２分．…………………………………………

２０．解：（１）由题意，当０＜ｘ＜４时，Ｐ（ｘ）＝６ｘ－２－１

３ｘ３＋２ｘ

＝－１

３ｘ３＋４ｘ－２；

当ｘ≥４时，Ｐ（ｘ）＝６ｘ－２－７ｘ＋１００

ｘ－２７

＝２５－ｘ－１００

ｘ，

所以年利润Ｐ（ｘ）关于ｘ的函数关系式为Ｐ（ｘ）＝

－１

３ｘ３＋４ｘ－２，０＜ｘ＜４，

２５－ｘ－１００

ｘ，ｘ≥４．

．５分…

（２）由（１）知Ｐ（ｘ）＝

－１

３ｘ３＋４ｘ－２，０＜ｘ＜４，

２５－ｘ－１００

ｘ，ｘ≥４．

当０＜ｘ＜４时，Ｐ（ｘ）＝－１

３ｘ３＋４ｘ－２，可得Ｐ′（ｘ）＝－ｘ２＋４，

令Ｐ′（ｘ）＝０，解得ｘ＝２，

）页４共（页２第　案答学数三高

{#{QQABLYCQogAIABIAAAhCUwXCCEIQkBGACKoGwBAIsAAAABNABAA=}#}

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