河南省三门峡市2022-2023学年高三上学期一模（第一次大练习） 数学（理）答案和解析

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试卷第 1页，共 6页
2023 年 1 月 5 日
2022-2023 学年三门峡市高三第一次大练习
理科数学-参考答案
一、 选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．
二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．
3
14．
1
2n
15．
4.25
16．
1, 2
2
 
 
 
三、解答题:共 70 分．
17．（12 分）
【解析】
（1）由题意，
( )(sin sin ) (sin 3 sin )a b A B c C B  
，
2 2 2
( )( ) 3a b a b a b c bc 
，即
2 2 2 3b c a bc 
，
2 2 2 3 3
cos 2 2 2
b c a bc
Abc bc
 
 
，在
中，
(0, )A
，
6
A
 
（2）
2a
，且
sin ,sin ,sinB A C
成等差数列，由正弦定理得
2 4b c a 
，
又由（1）知
，
2 2 2 2 2
( ) 2 16 2 4 3
cos 2 2 2 2
b c a b c bc a bc
Abc bc bc
   
 
12(2 3)bc  
，
ABC
的面积
sin 12(2 3) 1 3(2 3)
2 2 2
ABC
bc A
S
 
18．(12 分）
【解析】
（1）当
1n
时，
1 2 1
4( ) 3 9a a a  
，
2 2
9 27 27
4 9 ,
4 4 16
a a    
，
当
2n
时，由
1
4 3 9
n n
S S
 
①，
得
1
4 3 9
nn
S S
 
②，①
②得
1
4 3
n n
a a
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
A
C
D
A
B
C
B
D
A
C
C
试卷第 2页，共 6页
1
2
27 3
0, 0,
16 4
n
n
n
a
a a a
   
，
又
2
1
3, { }
4n
aa
a 
是首项为
9
4
，公比为
3
4
的等比数列，
1
9 3 3
( ) 3 ( )
4 4 4
n n
n
a
   
；
（2）由
3 ( 4) 0
n n
b n a 
，得
4 3
( 4)( )
3 4
n
n n
n
b a n
 
，
所以
2 3 4
3 3 3 3 3
3 2 1 0 ( 4)
4 4 4 4 4
n
n
T n
       
   
       
   
 
，
2 4 13
3 3 3 3 3 3
3 2 1 ( 5) ( 4)
4 4 4 4 4 4
n n
n
T n n
         
   
         
         
，
两式相减得
2 3 4 1
1 3 3 3 3 3 3
3 ( 4)
4 4 4 4 4 4 4
n n
n
T n
         
   
         
         
1
1
9 3
1
16 4
9 3
( 4)
3
4 4
14
n
n
n
 
 
 
 
 
 
 
   
 
1 1 1
9 9 3 3 3
4 ( 4)
4 4 4 4 4
n n n
n n
 
     
   
     
     
，
所以
1
3
4 ( )
4
n
n
T n
 
，
由
n n
T b
得
1
3 3
4 ( ) ( 4) ( )
4 4
n n
n n
   
恒成立，
即
( 4) 3 0n n
 
恒成立，
4n
时不等式恒成立；
4n
时，
3 12
3
4 4
n
n n
   
 
，得
1
；
4n
时，
3 12
3
4 4
n
n n
   
 
，得
3
 
；
所以
3 1
 
.
19．（12 分）
【解析】
（1）由题，
3 4 5 6 4.5
4
x  
 
，
2.5 3 4 4.5 3.5
4
y 
 
，
4
1
3 2.5 4 3 5 4 6 4.5 66.5
i i
i
x y
    
，
4
2 2 2 2 2
1
3 4 5 6 86
i
i
x
 
，
4
2 2 2 2 2
1
2.5 3 4 4.5 51.5
i
i
y
 
，
试卷第 3页，共 6页
所以相关系数
2 2
66.5 4 4.5 3.5 3.5 0.99
5 2.5
86 4 4.5 51.5 4 3.5
r 
 
   
，
因为 y与x之间的相关系数近似为 0.99，说明 y与x之间的线性相关程度非常强，所以
可用线性回归模型拟合 y与x之间的关系.
2
66.5 4 4.5 3.5
ˆ0.7
86 4 4.5
b 
 
 
，
ˆ
ˆ3.5 0.7 4.5 0.35a y bx    
，
故y关于 x的线性回归方程为
ˆ0.7 0.35y x 
.
（2）①将
2x
代入
ˆ0.7 0.35y x 
，得
ˆ0.7 2 0.35 1.75y  
，
故估计该市政府需要给 E区就地过年的人员发放的补贴总金额为
1.75 1000 1750 
（万
元）.
②设甲､乙两人中选择就地过年的人数为 X，则 X的所有可能取值为 0，1，2，
2
( 0) (1 )(2 2 ) 2 4 2P X p p p p  
，
2
( 1) (1 )(2 1) (2 2 ) 4 5 1P X p p p p p p  
，
2
( 2) (2 1) 2P X P p p p  
.
所以
 
2 2
( ) 0 4 5 1 1 2 2 3 1E X p p p p p  
，
所以
(1000 ) 1000(3 1)E X p 
，
由
1000(3 1) 1400p 
，得
4
5
p
，
又
11
2p 
，所以
1 4
2 5
p 
，
故
p
的取值范围为
1 4
,
2 5
 
 
.
20.（12 分）
【解析】
(1)因为直线
l
：
1x
与
C
的两个交点和
O
，
B
构成的四边形是菱形，
所以
l
垂直平分
OB
，所以
 
2, 0B
，
2a
.
设
 
0
1,D y
为直线
l
与
C
的一个交点，则菱形的面积为
0 0
12 2 2
2y y 
.
因为菱形的面积为
6
，所以
0
2 6y
，解得
0
6
2
y 
，即
6
1, 2
D 
 
 
 
将点
6
1, 2
D 
 
 
 
代入
2 2
2 2 1
x y
a b
 
，得
2 2
11
2
3
a b
 
，又因为
24a
，所以
22b
.
故
C
的方程为
2 2
1
4 2
x y
 
(2)①由题意，得
OB
为圆
E
的一条弦，且直线
1x
垂直平分该弦，
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