河南省名校青桐鸣2023届高三下学期4月联考试题 数学（理） 含解析
2023 届普通高等学校招生全国统一考试
大联考(高三)
数学(理科)
全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1. 已知集合
M=
{
1,2,3,4,5,6,7
)
, N={x∨❑
√
2x−1<5},
则
M ∩ N =¿
( )
A.{1 ,2} B.{1 ,2,3} C.{1 ,2,3,4} D.{1 ,2,3,4,5}
2. 复数
z
满足
(z — i)(2— i)=i
,则|
z
|= ( )
A.1 B.
❑
√
2
C.2 D.
❑
√
5
3. 已知函数
f(x)=x(x − a)(x −2)
,
a∈R
,命题
p:0<a<2
,命题
q:f'
(
a
)
<0,
则
p
是
q
的
( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4. 已知正实数
a，b
，满足
a+b ≥ 9
2a+2
b,
则
a+b
的最小值为 （ ）
A.5
B . 5
2
C.5
❑
√
2
D . 5❑
√
2
2
5. 已知
α , β ∈
(
0,π
2
)
,cos
(
α+β
)
=−5
13 ,tan α+tan β=3,
则
cos (α − β)
= ( )
A . 1
3
B . 7
13
C . 4
7
D.1
6. 函数
f
(
x
)
=
(
ex− e− x −2x
)
sin x
(
x∈
(
−3π
2,3π
2
)
)
的图象大致是 ( )
7. 若执行下面的程序框图，则输出的
s
( )
A.有6个值,分别为 6,10,28,36,66,78
B.有7个值,分别为 6,10,28,36,66,78,91
C.有7个值,分别为 6,10,28,36,66,78,120
D.有8个值,分别为 6,10,28,36,66,78,120,136
8. 在
△ABC
内有两点
M ,O
,满足
⃗
OA +
⃗
OB+
⃗
OC =0,
⃗
MA+
⃗
MB +2
⃗
MC=0,
且
⃗
MO=x
⃗
AB+¿
y
⃗
AC ,
则
x+y
=
( )
A . 1
12
B . 1
6
C . − 1
12
D .− 1
6
9. 函数
f
(
x
)
=sin
(
x+π
5
)
+❑
√
3 cos
(
x+8π
15
)
的最大值为 ( )
A.1 B.
❑
√
3
C.
❑
√
5
D.
❑
√
7
10. 在长方体
ABCD− A ₁B₁C₁D₁
中
, AB=BC=¿
2,
M
.为
CC ₁
的中点,
A₁C
⊥平面
MBD
,则
A₁B
与
B₁C
所成角
的余弦值为 ( )
A . 1
3
B . 2
3
C . 1
5
D . 3
5
11. 数列{
an
}满足:
a₁
=1,
a₂
=2, 且
λa ₂ₙ₋ ₁, a ₂ₙ, a ₂ₙ ₊ ₁
成等差数列，
λa ₂ₙ, a ₂ₙ ₊ ₁, a ₂ₙ ₊ ₂
成等比数列，
有以下命题：①若 λ=1，则
a₃
=3;② 若 λ=-1,则
a₄
<0;③∃λ>0, 使
a₃
=
a₄
; ④λ 可取任意实数.其中正确命
题的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
12. 已知抛物线
y²=4x
上有三点
M
,
A(x₁, y ₁), B ¿
),
M
点的纵坐标为 2,
y₁+y₂=¿
-4, 且
y₁, y ₂<2
,则△
MAB
面积的最大值为 ( )
A . 16 ❑
√
6
3
B . 16❑
√
6
9
C . 32❑
√
3
9
D . 32❑
√
3
3
二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。
13. 已知
f(x)=ax+lnx
的一条切线是
y=x
,则实数
a
= .
14. 已知一个球的表面上有四点
A，B，C，D
，
BD=2❑
√
3,∠BAD=60∘,∠BCD=90∘
平面
ABD
⊥平
面
BCD
,则该球的表面积为 .
15. 已知数列{
an
}满足
a1+3a2+⋯+
(
2n −1
)
an=1
3−1
2n+3,n ∈N∗
则
a1+a2+⋯+¿
aₙ¿¿¿
16. 已知双曲线
x2−y2
5=1
的左、右焦点分别为
F₁，F₂
，点
M
位于双曲线的右支上，
F₁M
交左支于点
N
,△
MNF ₂
的内切圆
I
的半径为 1,
I
与
NF ₂
,
MN
分别切于点
P , R
,则
cos ∠RNP
= .
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考生都
必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题:共60 分。
17.(12 分)
已知锐角三角形
ABC
的内角
A，B，C
的对边分别为 a ,
b , c , tan B+tan C=❑
√
3 cos A
cos Bcos C.
(1)求
A
;
(2)若
a=❑
√
6,
求b+c 的取值范围.
18. (12 分)
为巩固拓展脱贫攻坚成果，全面推进乡村振兴，在国家产业扶贫政策的大力支持下，某贫困村利用当地自然
条件，在南、北两山上种植苹果，现已开始大量结果，苹果成熟时，将苹果分为“一级”“二级”“三级”，价
格从高到低，有一水果商人要收购这里的苹果，收购前，将南山和北山上的苹果各随机摘取了200 千克，按等
级分开后得到的数据为：南山上的“一级”苹果 40 千克，“二级”苹果 150 千克；南、北山上的“三级”苹果
共40 千克；北山上的“一级”苹果 50 千克.(假设两山上的苹果总产量相同，以样本的频率估计概率)
(1)若种植苹果的成本为 5元/千克，苹果收购价格如下表：
等级 “一级”“二级”“三级”
价格（元／千克）12 8 1
①分别计算南山和北山各随机摘取的 200 千克苹果的平均利润；
②若按个数计算，“一级”苹果平均每千克有3个，“二级”苹果平均每千克有4个，“三级”苹果平均
每千克有6个，以此计算该村南山上的 200 千克苹果的个数，并按各等级苹果个数以分层抽样的方式从中
抽取13 个苹果，分别放在13 个外形完全一样的包装内，水果商人在这13 个苹果中随机取2个，求恰有1
个“三级”苹果的概率.
(2)判断能否有99%的把握认为“三级”苹果的多少与南、北山有关.
附
:K2=n
(
ad − bc
)
2
(
a+b
) (
c+d
) (
a+c
) (
b+d
)
,n=a+b+c+d .
P(K²≥ k ₀)
0.1 0.05 0.01 0.005
k₀
2.706 3.841 6.635 7.879
19.(12 分)
如图,在四棱锥
P − ABCD
中,
AB=BC=❑
√
21
2, AD=CD=AC=2❑
√
3, E , F
分别
为
AC ,CD
的中点,点
G
在
PF
上，且
G
为三角形
PCD
的重心.
(1)证明:
¿
∥平面
PBC
;
(2) 若
PA=PC , PA
⊥
CD
,四棱 锥
P − ABCD
的 体 积 为
3❑
√
3,
， 求 直线
¿
与 平 面
PCD所
成角的正弦值.
20. (12 分)
已知点
M
(
1,3
2
)
在椭圆
x2
a2+y2
b2=1
(
a
⟩
b>0¿
上，
A，B
分别是椭圆的左、右顶点，直线MA 和MB 的斜
率之和满足：
kMA +kMB =−1.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)斜率为1的直线 交椭圆于
P，Q
两点，椭圆上是否存在定点
T
，使直线
PT
和
QT
的斜率之和满足
kPT +kQT=0¿
与
T
均不重合)?若存在，求出
T
点坐标；若不存在，说明理由.
21. (12 分)
已知函数
f
(
x
)
=a❑
√
x − 1+b❑
√
ln x
(
a∈R , b ∈R
)
, g
(
x
)
=❑
√
x e
x
2.
(1)若
a=1
,证明:当
b ≥
-1 时,
f(x)
为增函数;
(2)若
f(x)=g(x)
有解,求
a²+b²
的最小值.
(二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22. [选修4-4:坐标系与参数方程](10 分)
在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为
{
x=sint+1
4 sin t,
y=❑
√
sin t+1
2❑
√
sin t
t
为参数且
t∈(0, π )
),以坐标原点
O
为
极点 ，
x
轴的 非 负半轴为极 轴 ，建立极坐 标 系，
(
0,π
2
)
且
tan α=3
4,
直线
l
的极坐标方程为
ρsin (θ+α)=m(m∈R).
(1)求直线
l
的直角坐标方程和曲线
C
的普通方程；
(2)若直线
l
与曲线
C
有公共点，求实数
m
的取值范围.
23. [选修4-5:不等式选讲](10 分)
已知函数
f(x)=¿2x+3∨+¿x − a∨(a>0)
的图象如图所示,当
x=−3
2
时,
f(x)
取得最小值 3,
g(x)=− x .
(1)求实数
a
的值;
(2)若
g(x −t)≤ f (x)
恒成立,求实数
t
的取值范围.
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