河南省洛阳市强基联盟2022-2023学年高一下学期5月联考数学试题+含解析

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洛阳强基联盟 5 月联考
高一数学
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2.答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答
题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上
各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.本卷命题范围：人教版必修第二册第六章~第十章 10.1.3。
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1. 已知复数 z 满足(1+i)z=2(i 为虚数单位)，则在复平面内复数 z对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四
象限
2. 在某中学高一年级的 300 名学生中，男生有 120 名，女生有 180 名.学校想了解学生
对选修课程的看法，以便开设有关课程，现准备从高一学生中按性别用分层随机抽样
的方法选取 60 人，则应抽取的女生人数为
A.24 B.36 C.40 D.48
3. 如图,在正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁中,E,F 分别为棱 BC 和棱 CC₁的中点,则异面直线 AC
和EF 所成的角为
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
4. “双减”政策实施后，学生的课外阅读增多，某班 50 名学生到图书馆借书数量统计如
下表.
借书数量（单位：本） 5 6 7 8 9 1
0
频数（单位：人） 581
3
1
19 4
则这 50 名学生的借书数量的第 25 百分位数是
A.5 B.5.5 C.6 D.6.5
5. 在△ABC 中,AB=AC=5,BC=8,若PA⊥平面 ABC,PA=4,则点 P到BC 的距离是
A.5 B.4
❑
√
2
C.3
❑
√
2
D.
❑
√
5
6. 设l，m是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列命题正确的是
A.若l∥α,m∥β,α∥β,则l∥m B.若l∥m,m⊥β,l⊥α,则α∥β
C.若α⊥β,l∥α,m∥β,则l⊥m D.若α⊥β,l∥α,m∥β,则l∥m
7. 紫金山位于江苏省南京市玄武区境内，是江南四大名山之一，三峰相连形如巨龙，山、
水、城浑然一体，古有“钟山龙蟠，石城虎踞”之称.建筑师在高度接近 200 米的峰
顶测得一建筑物顶部的仰角为 30°，底部的俯角为 45°，那么该建筑的高度接近
A.200
(
1+❑
√
3
3
)
米 B.200(1+
❑
√
3
)米
C.100
(
❑
√
6+❑
√
2
)
米
米
8. 已知 e₁,e₂是单位向量,且e₁,e₂的夹角为 θ,若
¿e1+t e2∨≥1
2
(
t∈R
)
,
则θ的取值范围
为
A .
[
π
3,2π
3
)
B .
[
π
4,π
2
)
C .
[
0,π
6
)
D .
[
π
6,5π
6
)
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求。全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
9. 在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且
b=2, A=π
3,
若△ABC 有唯一解，
则a的值可以是
A.1
B .❑
√
2
C . ❑
√
3
D.
❑
√
5
10. 某学校为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查部分学生，了解到上学
方式主要有：A一结伴步行，B一自行乘车，C一家人接送，D一其他方式.并将收集
的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图.根据图中信息，下列说法正确的是
A.扇形统计图中 D的占比最小 B.条形统计图中 A和C一
样高
C.无法计算扇形统计图中 A的占比 D.估计该校一半的学生选
择结伴步行或家人接送
11. 从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个小球，则下列结论正确的是
A.“至少有一个红球”和“至少有一个黑球”是互斥事件
B.“恰有一个黑球”和“都是黑球”是互斥事件
C.“恰有一个红球”和“都是红球”是对立事件
D.“至少有一个黑球”和“都是红球”是对立事件
12. 如图所示,在四棱锥P-ABCD 中,PA⊥ 平 面 ABCD, 四边形 ABCD 为正方
形,PA=AB=1,E,F 为
线段 PD 上的点(不包括端点)，则
A. AC⊥EF
B. PB∥平面 AEC
C.二面角 E-BD-C 的大小为定值
D. AE+CE 的最小值为
❑
√
2+❑
√
2
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。
13. 在△ABC 中,
⃗
DC=2
⃗
BD ,
若
⃗
BC=λ
⃗
DC ,
则λ= .
14. 某厂有A，B 两条生产线制造同一型号可充电电池.现采用分层随机抽样，从某天两条
生产线上的成品中随机抽取 20 件成品，测试产品可充电次数的均值及方差，结果如
下表：
项目 抽取成品数 样本均值 样本方差
A生产线产品 8 210 1
B生产线产品 12 200 1
则20 个产品组成的总样本的方差为 .
15. 在某次国际围棋比赛中，中国派出包含甲、乙在内的 5位棋手参加比赛，他们分成两
个小组，其中一个小组有3位，另外一个小组有2位，则甲和乙分在不同小组的概率
为 .
16. 已知等腰直角三角形 ABC 的三个顶点都在球O的球面上，AB=BC=4，若球O上的
点到平面 ABC 的最大距离为 4,则球O的体积为 .
四、解答题：本题共 6小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. (本小题满分 10 分)
已知向量
⃗
a
=(1,3),
⃗
b
=(-2,1).
(1)求
⃗
a
·
⃗
b
;
(2)若向量
⃗
a
+
⃗
b
与
⃗
a
-k
⃗
b
互相垂直,求k的值.
18. (本小题满分 12 分)
已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,且
acos B+❑
√
3
3asin B − c=0.
(1)求A;
(2)若a=2,且△ABC 的面积为
❑
√
3
,求b,c.
19. (本小题满分 12 分)
学校对甲、乙两人的学习态度、考试成绩及活动参与三个方面做了一个初步的评估，
成绩(单位：分)如下表所示.
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