河南省洛阳市强基联盟2022-2023学年高一下学期3月联考试题 数学 含解析

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洛阳强基联盟 3月联考
高一数学
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2.答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目
的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出
答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.本卷命题范围：人教 A版必修第二册第六章~第七章第 2节。
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1. 已知
i(a −i)=b −(2i)³(a , b ∈R)
,则
a+b
=
A.-9 B.9 C.7 D.-7
2. 已知△
ABC
为等边三角形，则
⃗
AB
与
⃗
BC
的夹角为
A.120° B.60°
C.30° D.-60°
3. 已知向量
a
=(8,-2),
b
=(
,1),若
a=λb
,则实数
m
的值是
A.-4 B.-1 C.1 D.4
4. 在△
ABC
中,角
A , B , C
的对边分别为
a , b , c
,已知
a=❑
√
2, b=❑
√
3, B=60 ° ,
则
A
=
A.45°或 135° B.135°
C.45° D.60°或 120°
5. 若复数
z
满足
(z− 2i)(1+i)=i
，则
z
在复平面内对应的点的坐标为
A .
(
−1
2,− 3
2
)
B .
(
−1
2,5
2
)
C .
(
1
2,− 3
2
)
D .
(
1
2,5
2
)
6. 已知△
ABC
的内角
A , B , C
的对边分别是
a , b , c
,则“△
ABC
是钝角三角形”是 “
a²+b²−c ²<0
”
的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7. 已知向量
a，b
的夹角为
π
3,
且|
a
|=2,
b
=(1,1), 则
a
在
b
上投影向量的坐标为
A .
(
❑
√
2,❑
√
2
)
B .
(
1
2,1
2
)
C .
(
❑
√
2
2,
❑
√
2
2
)
D.( 1 ,1 )
8. 在平行四边形
ABCD
中,
AB=4, AD=3,
⃗
AE=1
3
⃗
EB ,
⃗
DF=2
⃗
FC ,
且
⃗
BF
·
⃗
CE=−6,
则平行
四边形
ABCD
的面积为
A . 12
5
B . 24
5
C . 12❑
√
6
5
D . 24 ❑
√
6
5
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。
9. 对于任意的平面向量
a，b，c
，下列说法错误的是
A.若
a ≠ b
，则
a
与
b
不是共线向量
B.
(a+b)· c=a· c +b · c
C.若
a·b=a·c
,且
a ≠ 0
,则
b=c
D.
(a · b)c=(b ·c )a
10. 若复数 z 为纯虚数，则
A.
z
+
z
为实数 B.
z
-
z
为实数
C.
z
² 为实数 D.
z
i 为实数
11. 下列说法正确的是
A.若两个非零向量
⃗
AB ,
⃗
CD
共线，则
A，B，C，D
必在同一直线上
B.若向量
a
与
b
平行，
b
与
c
平行，则
a
，
c
方向相同或相反
C.若非零向量
⃗
AB
与
⃗
CD
是共线向量，则它们的夹角是 0°或 180°
D.平行向量就是共线向量，共线向量就是平行向量
12. 在△
ABC
中，内角
A，B，C
所对的边分别为
a，b，c
，则下列结论正确的是
A.若
a>b
,则
sin A>sin B
B.若
sin A>sin B
,则
A>B
C.若
acos A=bcos B
,则△
ABC
是等腰三角形
D.若△
ABC
为锐角三角形,则
sin A>cos B
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13. 设复数
z
满足
z
i+1=
z
,则
¿z∨¿¿.
14. 在 △
ABC
中 , 角
A , B , C
的 对 边 分 别 为
a , b , c
, 且
bcos C+csin B=a
,
b=6
, 则
a+2b
sin A+2 sin B=¿.
15. 已知平面向量
a=(1, −2)
,
b=(4, y)
, 若
a
与
a+b
的夹角为锐角,则
y
的取值范围为
.
16. 如图，中华中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某座山峰的高度，先在山脚 A 处测得山顶
C
处
的仰角为 60°，又利用无人机在离地面高 400m 的
M
处(即
MD=400
)，观测到山顶
C
处的仰角
为 15°，山脚
A
处的俯角为 45°,则山高
BC
= m.
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. (本小题满分 10 分)
已知虚数 z 满足
¿z∨¿❑
√
5.
(1)求证
:z+5i
z
在复平面内对应的点在直线
y=x
上；
(2)若
z
是方程
2x²+4x+k=0(k∈R)
的一个根，求
k
与
z
.
18. (本小题满分 12 分)
已知向量
a , b
满足|
a
|=2,|
b
|=3,且
(3a+b)·(a− 2b)=−16
.
(1)若
(a − b)⊥(a+λb)
,求实数
λ
的值;
(2)求
a
与
2a −b
的夹角的余弦值.
19. (本小题满分 12 分)
已知△
ABC
的内角
A , B , C
的对边分别为
a , b , c
,且
2 cos A=acos B+bcos A
.
(1)求角
A
;
(2)若△
ABC
的周长为
3❑
√
3,
❑
√
3
，且△
ABC
外接圆的半径为 1，判断△
ABC
的形状，并求△
ABC
的面积.
20. (本小题满分 12 分)
如图，在等腰梯形
ABCD
中，
AB/¿CD ,∨
⃗
AB∨¿2∨
⃗
DC∨¿2,∠BAD=π
3,
E是
BC
边的中点.
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