湖北省2023-2024学年新高考联考协作体高三9月起点考试 数学试题答案

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湖北省新高考联考协作体*数学答案（共 6 页）第 1页
2023 年湖北省高三 9 月起点考试
高三数学答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
B
D
A
C
D
A
BC
AC
ACD
ACD
填空题： 13.
14. 15.  16. 
1.由于
 

，则的虚部为
，故选 C。
2.由于集合 
或
，集合    ，
从而    , 故元素个数为 2 ，故选 B。
3.设 的首项为，公差为, 则     ,
又     
，
，
则
  
,
从而数列得前 项为正，其余项为负， 故 的最大值为, 故选 B。
4.由已知可得:  ,
所以    
则的系数为, 故选 D。
5.明显，圆的半径为 ，其方程为：①
可设 
，
，
 
，
, 动点
，
由 ，从而有
化简得：②
由① ②可得相交弦的方程为：
带入式①可求出  
,
故相交弦长为 
, 故选 A。
6.令   , 则亦有  ,可求出
或
或
从而有  
或
或
，从而相应方程的根的个数分别为
或
或
，
故函数    的零点个数为 6 , 故选 C。
7.设这 5 个人分别为:ABCDE ,则要求 B 与 C 和 D 与 E 的演讲顺序都不能相邻。
第一类：A 在 BC 中间，此时再把 D 与 E 插空到这 3 人中间，
此时的不同的演讲顺序有

第二类：A 不在 BC 中间，此时先考虑 B 与 C 和 D 与 E ，他们的顺序应相间排列，最后考虑
A ，此时的不同的演讲顺序有

综上可得：总共有 48 种不同的演讲顺序,故选 D。
8.对于，由
,则
 ,故 ；
对于,


,故  ；
对于,由于
, 则
，从而可得

同理，
, 则
，从而可得

所以有 
综上有：故选 A。
湖北省新高考联考协作体*数学答案（共 6 页）第 2页
9.对于 A ，由两直线平行可得： 
或
又时，两直线重合，舍去；经检验符合题意,故 A 错误。
对于 B ，这 6 个数据按从小到大排序为：1 2 3 5 7 8 ，由 ，
则这组数据第 分位数为第 4 个数，即为 5，故 B 正确。
对于 C ，由 
, 从而时 最大, 故 C 正确。
对于 D ，由可得 
    ,又 、,则有 
或
，
或
，
故为等腰三角形或直角三角形, 故 D 不正确。
10.明显
 
 
 
对于 A 明显成立，故 A 正确
对于 B 令
,由 
则 
,
明显：
即

 时  递减，故 B 不正确
对于 C 由
,及
则

 
,
则 在区间 
上的值域为
，
，故 C 正确
对于 D 由
,及 则

由题意可知：

从而得：
，故 D 不正确
11. 对于 A 明显有∥又
平面
，

平面
从而
平面
成立，故 A 正确
对于 B 由等体积法： ,
明显有：的面积为
，点到的距离为,
又在中，， ，可求出的面积为
，
从而可得：
  
, 故 B 不正确
对于 C 由于 ∥,则 相交于一点,
从而有平面,平面
则可得平面平面，即
所以有相交于一点, 故 C 正确
对于 D 平面 PMN 与正方体的截面为边长为 正六边形，
（点分别为的中点）则其周长为  ，故 D 正确
12. 在双曲线
中，  
且
，
 
，
，
 
，
 
，
对于 A 设，由双曲线定义得：，
两边平方可得：①
在中，由余弦定理可得：
 ② 联立①②可得: 
故
的面积为

  ,故 A 正确
对于 B 由中点弦公式：

 ,此时直线的方程为 
湖北省新高考联考协作体*数学答案（共 6 页）第 3页
带入双曲线的方程消去可得：,此时，
此时直线与双曲线无公共点，说明此时直线不存在, 故 B 不正确
对于 C 设  ,则
 
又直线与的斜率的乘积


  
 ,
由于 从而可得： 
，故 C 正确
对于 D 设直线 带入
（※）
（说明：时（※）式表示双曲线；时（※）式表示双曲线的两条渐近线）
得 , 应满足：  
，且
且明显有：
（与无关）
这说明线段的中点与线段的中点重合，故有成立, 故 D 正确。
13.由于   ，从而   ,
则  ,又   ，则 与的夹角的余弦值为

，
则与的夹角为
。
14.由已知可设：
,且这两个函数分别过 
，
，

，
 ，
得，

，从而

,
故
 




，当


即
时等号成立。
15.先考虑与相切，设切点的横坐标为,
由，则
,
由相切的性质可得：① 及②
由②知：带入①可求出：，从而有 
再考虑与  相切
联立方程，消去，可得：  
舍去 。
16.如图所示，取的中点,连接,则明显有
∠

，
由于与的外心与分别在与上，
则三棱锥的外接球的球心在过点且与平面垂直的直线上。
由对称性可知：
∠

，易求出，设,则
在中，有 
,则
，
，
又在中，
∠

 
，
从而在中，

，
所以三棱锥的外接球的表面积
。
17.解：(1)由于 
 ，

，
即

 分
又
，所以数列
是首项为
，公比为的
等比数列  分
(2)由(1)可知：

 分
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