湖北省2022-2023学年高三下学期5月国都省考模拟测试数学试题参考答案
湖北省 2023 届高三 5 月国都省考模拟测试
数学参考答案及评分标准
选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
A
A
B
C
B
D
A
BD
AD
ACD
AC
填空题：
13.
21
14.
1612 xy
15.
9
33
16.
nn )
5
3
(
9
10
)
4
3
(
9
8
;
1000
1019
解答题：
17.（10 分）解：
（1）在
ABC
中由正弦定理有：
BBA sin
2
3
sinsin
.
因为
0sin B
，所以
2
3
sin A
.
又因为
A
为锐角，即
3
A
.…………5分
（2）设
ACD
，在
ACD
中，
CDAD
，即
CAD
.
易知
3
BAD
，
3
2
ABC
.
在
ABD
中，由正弦定理有：
)
3
2
sin()
3
sin(
ADBD
.
又因为
BDAD 2
，所以
)
3
2
sin()
3
sin(2
.
化简得
0)
6
sin(
，因为
)
3
,0(
，即
6
.
则
2
ABC
，所以
ABC
为直角三角形.…………10 分
18.（12 分）解：
（1）设
1 n
a
bn
n
，则
1
1
1
1
n
a
bn
n
，
4
1b
.
因为
n
na
n
ann
2
1
1
，所以
2
1
2
2
1
1
1
1
1
n
a
n
a
n
a
n
a
b
b
n
n
n
n
n
n
.
即
n
b
是以 4为首项，2为公比的等比数列.
则数列
1
n
a
n
是等比数列.…………6分
（2）由（1）知
11 224 nn
n
b
，则
nna n
n 1
2
，即
1
2
n
nnc
.
则
132 22221
n
nnT
.
212 22)1(222 nn
nnnT
.
两式相减得：
2132 2222 nn
nnT
.
所以
42)1( 2 n
nnT
.…………12 分
19.（12 分）解：
（1）在
ABD
中，
2,60 ABBAD 。
，
O
是
AD
的中点，即
3OB
.
在
PAD
中，
3PO
，
ADPO
.
POB
中，
222
,6 PBOBPOPB
,所以
OBPO
.
又因为
ADPO
，
OADOB
.
ADOB,
均在平面
ABCD
中，所以
PO
平面
ABCD
.
PO
平面
PBO
，所以平面
PBO
平面
ABCD
.…………6分
（2）由（1）知
PO
平面
ABCD
.
在
ABD
中，
2,60 ABBAD 。
，
O
是
AD
的中点，即
ADBO
.
以
O
为原点，
OPOBOA ,,
所在直线分别为
x
轴、
y
轴、
z
轴,
建立如图所示的空间直角坐标系.
则
)0,3,2(),0,3,0(),3,0,0( CBP
.
所以
)3,3,0(),0,0,2( PBBC
.
设平面
OPC
的法向量为
),,( 111 zyxm
，由
0
0
OCm
OPm
.
得
032
03
11
1
yx
z
，取
)0,2,3(m
.
设平面
PCB
的法向量为
),,( 222 zyxn
，由
0
0
BCn
PBn
，得
02
033
2
22
x
zy
，取
)1,1,0(n
.
所以
7
14
72
2
,cos
nm
.
所以二面角
BPCO
的平面角的余弦值为
7
14
.…………12 分
20.（12 分）解：
（1）一件手工艺品质量为二级品的概率为
9
4
)
3
2
1()
3
2
(22
3C
.…………4分
（2）
Y
可能取值为
10,20,70,100
.
27
8
)
3
2
()100( 3YP
;
9
4
)
3
2
1()
3
2
()70( 22
3 CYP
.
9
2
)
3
2
1(
3
2
)20( 21
3 CYP
;
27
1
)
3
2
1()10( 3YP
.
则
Y
的分布列为：
Y
100
70
20
-10
P
8
27
4
9
2
9
1
27
期望
27
1750
27
1
10
9
2
20
9
4
70
27
8
100)( YE
.
所以 1000 件产品的平均利润为
27
1750000
)(1000 YE
.…………12 分
21.（12 分）解：
（1）由题意知，双曲线焦点在
x
轴上，故设双曲线方程为
)0,(1
2
2
2
2
ba
b
y
a
x
.
将
A
、
B
两点坐标代入双曲线方程得
2a
，
)0,(1
24)14(
2
2
2
2
ba
ba
.
所以
32,2 ba
，即双曲线方程为
1
124
22
yx
.…………4分
（2）直线
DG
过定点
)0,2(A
，下面给出证明.
AGD ,,
三点共线
AGAD kk
设点
),(),,( 2211 yxEyxD
，直线
DE
方程为
3)2( xky
.
由题意知，直线
AB
的方程为
42 xy
.
点
F
为线段
EG
的中点，从而
)42,( 22 xxF
，
)84,( 222 yxxG
.
2
84
,
22
22
1
1
x
yx
k
x
y
kAGAD
，若
2
84
22
22
1
1
x
yx
x
y
kk AGAD
.
化简得
0)2)(2(4)2()2( 211221 xxxyxy
......（1）
又
3)2(,3)2( 2211 xkyxky
，代入（1）式得.
即证
0)288())(114()42( 2121 kxxkxxk
......（2）
联立
1
124
3)2(
22 yx
xky
，化简得
012)32()32(2)3( 222 kxkkxk
.
则
2
2
21
2
21 3
)32(12
,
3
)32(2
k
k
xx
k
kk
xx
.
代入（2）式左边得
0288
3
)32(2
)114(
3
)32(12
)42( 22
2
k
k
kk
k
k
k
k
.
由于
8490408)32(12)42( 232 kkkkk
.
kkkkkk 666816)64)(114( 232
.
8424288)288)(3( 232 kkkkk
.
从而（2）式左边等于 0成立，直线
DG
过定点
)0,2(A
.…………12 分
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2025-05-31 104
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