湖北省云学名校联盟2023-2024学年高一上学期12月联考数学试卷含答案

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2023 年湖北省云学名校联盟高一年级 12 月联考数学试卷及答案
一、单选题（本大题共 8小题，共 40 分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知集合
A={x∨¿x − 1∨≤1}
，
B={x∨2− x
x≥0}
，则
A ∩ B=¿
()
A.
{x∨0<x<2}
B.
{x∨0<x ≤ 2}
C.
{x∨0≤ x <2}
D.
{x∨0≤ x ≤ 2}
2.在下列区间中，函数
f(x)=ex+2x −3
，则零点所在的区间为()
A.
B.
(0,1
2)
C.
(1
2,1)
D.
(1,3
2)
3.如果
a>b>0
，
m∈R
，那么下列不等式一定成立的是()
A.
b
a>b+m
a+m
B.
−1
a<−1
b
C.
a m2>b m2
D.
ab>b2
4.已知函数
y=f(1
2x+1)
的定义域是
[2,4]
，则函数
g(x)= f(x)
ln(x −2)
的定义域为()
A.
(2,3)
B.
¿
C.
(2,3)∪¿
D.
(2,3)∪¿
5.函数
f(x)=−2 ln∨x∨¿
x¿
的部分图象大致为()
A. B. C. D.
6.升温系数是衡量空调制热效果好坏的主要依据之一.把物体放在制热空调的房间里升温，如果物体初始温度为
θ1
，空气
的温度为
θ0
，t小时后物体的温度
θ
可由公式
θ=θ0+(θ0− θ1)e− kt
求得，其中 k是一个随着物体与空气的接触状况而定的
升温系数.现有 A、B两个物体放在空气中升温，已知两物体的初始温度相同，升温 2小时后，A、B两个物体的温度分别
为
5θ0
、
9θ0
，假设 A、B两个物体的升温系数分别为
kA
、
kB
，则()
A.
kA
kB
=1
2ln2
B.
kB
kA
=1
2ln2
C.
kA− k B=1
2ln 2
D.
kB−k A=1
2ln 2
7.设
f(x)=log1
2
∨x∨¿
，则()
A.
f¿
B.
f¿
C.
f(−log56)>f¿
D.
f(−log56)>f¿
8.已知函数
f(x)=log2(x+2
x −2)
，
g(x)=a⋅4x−2x+1
，
∀x1∈[10
3,6]
，
∃a∈[0,1]
，有
f(x1)=g(x)
成立，则实数 x的取
值集合为()
A.
¿
B.
¿
C.
(0,log2(
√
3+1))
D.
¿
二、多选题（本大题共 4小题，共 20 分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列命题为真命题的是()
A.命题“
∃x0>1
，
2x0>x0
2
”的否定是“
∀x>1
，
2x≤ x2
”
B.“
x1>1
，且
x2>1
”是“
{
x1+x2>2
x1⋅x2>1
"的充要条件
C.函数
f(x)=ln x
，则函数
f(x2−2x − 3)
的单调递增区间为
(1,+∞)
D.函数
f(x)=loga(x −1)−2¿
其中
a>0
且
a ≠ 1¿
的图象过定点
(2, −2)
10.已知关于 x的不等式
(2a −m )x2−(b+m)x − 1<0(a>0, b>0)
的解集为
(−1,1
2)
，则下列结论正确的是()
A.
2a+b=3
B.ab 的最大值为
1
8
C.
1
a+a
b
的最小值为 4 D.
4a2+b2
的最小值为
1
2
11.通过对函数
f(x)=loga(1− x
1+x)
，
g(x)=loga(1− x)−loga(1+x)¿
其中
a>0
且
a ≠ 1¿
的性质研究，下列关于其性质的
说法正确的是()
A.函数
g(x)
的图象关于原点成中心对称
B.函数
f(x)
与函数
g(x)
不是同一函数
C.当
0<a<1
时，函数
f(x)
的值域为 R
D.当
a>1
时，令
ℎ(x)=g(x)+1
，则不等式
ℎ(2x+1)>2−ℎ(x)
的解集为
{x∨−1<x<−1
3}
12.函数
f(x)=
{
x2+2x+1, x ≤ 0
¿log3x − 2∨, x >0
，若关于 x的方程
f(x)=t(t∈R)
有4个不同的实数解，它们从小到大依次为
x1
，
x2
，
x3
，
x4
，则()
A.
0<t<1
B.
x3⋅x4=81
C.
0≤ x1⋅x2⋅x3⋅x4<81
D.函数
g(x)=f(f(x))
有3个零点
三、填空题（本大题共 4小题，共 20 分）
13.已知
f(x)=(m2−2m−2)xm
是幂函数，且
f(2)<f(1)
，则实数
m=¿
__________.
14.若关于 x的方程
x2− ax+1=0
在区间
(3
4,2)
内有实根，则实数 a的取值范围是__________.
15.同构式通俗的讲是结构相同的表达式.如：
f(x)=x+ex
，
f(ln x)=ln x+eln x=ln x+x
，称
x+ex
与
ln x+x
为同构式.已知实数
x1
，
x2
满足
ex1+x1=10
，
ln 3
√
3x2+2+x2=8
3
，则
x1+3x2=¿
__________.
16.已知函数
f(x)
，
g(x)
的定义域均为 R，且
y=f(2x+1)
为偶函数，
y=g(3x+1)−3
为奇函数，对任意的 x有
f(x)+g(x)=2x+2− x
，则
f(0)g(2)=¿
__________.
四、解答题（本大题共 6小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.
¿
本小题 10 分
¿
求值：
(1)¿
(2)
lg2⋅lg 50+lg25+¿
18.
¿
本小题 12 分
¿
已知
a∈R
，全集
U=R
，集合
A={x∨1
9<3x− a ≤27 }
，函数
y=
√
log1
3
(2x −1)
的定义域为
B .
(1)
当
a=1
时，求
(∁UB)∩ A ;
(2)
若
x∈B
是
x∈A
成立的充分不必要条件，求 a的取值范围.
19.
¿
本小题 12 分
¿
已知函数
f(x)=ex− a e− x
ex+a e− x
为奇函数.
(1)
求实数 a的值;
(2)
若函数
f(x)
是定义在 R上的奇函数，若
∃x∈(1,2)
，使得
1+f(x)−m e2x=0
成立，求实数 m的取值范围.
20.
¿
本小题 12 分
¿
已知函数
f(x)
对任意的实数 x，y都有
f(x− y)=f(x)− f (y)+2
，并且当
x<0
时，
f(x)>2.
(1)
判断并证明
f(x)
的单调性;
(2)
当
a>0
时，求关于 x的不等式
f(a x2)+2≥ f ((a+1)x)+f(−1)
的解集.
21.
¿
本小题 12 分
¿
泡泡青被誉为“随州美食四宝”之一，以口感鲜美，营养丰富而闻名全国.通过调查一泡泡青个体销售点自立冬以来的日
销售情况，发现：在过去的一个月内
¿
以30 天计
¿
，每公斤的销售价格
P(x)¿
单位：元
¿
与时间
x¿
单位：天
¿
的函数关系
近似满足
P(x)=5+1
x
，日销售量
Q(x)¿
单位：公斤
¿
是时间
x¿
取整数，单位：天
¿
的函数，统计得到以下五个点在函数
Q(x)
的图象上：
(10,50)
、
(15,55)
、
(20,60)
、
(25,55)
、
(30,50)
(1)
李同学结合自己所学的知识，将这个实际问题抽象为以下四个函数模型：①
Q(x)=ax +b ;
②
Q(x)=a∨x− m∨+b ;
③
Q(x)=a − bx ;
④
Q(x)=a⋅logbx .
结合所给数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量
Q(x)
与时
间x的变化关系，并求出该函数的解析式;
(2)
设该泡泡青个体销售点日销售收入为
f(x)¿
单位：元
¿
，求
f(x)
的最小值
¿
四舍五入，精确到整数
¿.
22.
¿
本小题 12 分
¿
已知函数
f(x)= x2+3
2x+2
，
g(x)=4x+m⋅2x+1+2m −3
(1)
当
0≤ x ≤ 1
时，函数
g(x)
的最小值为 5，求实数 m的取值范围;
(2)
对于函数
ℎ(x)
和
k(x)
，若满足：对
∀x1∈D
，
∃x2∈D
，有
ℎ(− x1)+ℎ(x1)≤2k(x2)
成立，称函数
k(x)
是
ℎ(x)
在区
间D上的“相伴不减函数”，若函数
f(x)
是
g(x)
在区间
[1,2]
的“相伴不减函数”，求实数 m的取值范围.
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