湖北省武昌实验中学2024届高三上学期12月月考数学答案

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高三年级 12 月月考数学参考答案
一．单选题 1-8. ADCDB BBD
二．多选题 9. BD 10. BCD 11. BC 12.ACD
三．填空题
13. 【答案】-160 14．【答案】 15．【答案】 16. 【答案】
√
3
．
四．解答题
17.(1)由已知
.---------3 分
当 时， ，令 ，
解得： ，
∴函数 的单调递增区间为 ；---------5 分
(2)由（1）知 ，令 ，得 ，
所以 ， .
当 最小时，不妨取 ， ，即 ， ，则
.
因为 ，则 ，故 .---------8 分
2 4 5 0x y  
1
[ , )
2e
 
2
2 sin cos sin sin 1 cos
2 2 2
x x x
f x x x
   
 
 
 
 
sin cos 1 2 sin 1
4
π
x x x
 
 
 
 
 
2
 
π
2 sin 2 1
4
f x x
 
 
 
 
 
π π π
2 π 2 2 π
2 4 2
k x k k Z
 
3π π
π π
8 8
k x k k Z  
 
f x
 
3π π
π , π
8 8
k k k Z
 
 
 
 
 
π
2 sin 1
4
f x x
 
 
 
 
 
0f x
π 2
sin 4 2
x
 
 
 
 
1
π 2
sin 4 2
x
 
 
 
 
2
π 2
sin 4 2
x
 
 
 
 
1 2
x x
1
π π
4 4
x
 
2
π 3π
4 4
x
 
1
0x
2
π
2
x
1 2
π
2
x x
 
1 2 min
π
2
x x 
π π
2 2
1
因为 ，所以 ， ，
所以函数 在 上的值域为 ---------10 分
18.【解析】（1）如图，连接 ，交 于点 ，连接 ，
由 ， ， ，
可得 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，即 为 中点，
在等腰 中，可得 ，
在等腰 中， ，
又 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ．
（2）方法一：（对角线交点建系法）
由（1）可得， ，又 ， ，
所以 ， ，
由于 为正三棱锥，点 在底面 的垂足一定在 上，设垂足为 ，
根据正三棱锥的性质可得 ， ，
如图，以 ， 所在直线为 轴， 轴建立空间直角坐标系．
可得 ， ， ， ，
， （或 ）
又 ，（或 ， ）
设平面 的法向量 ，可得
{
n⋅
⃗
PC=0¿¿¿¿
，
不妨令 ，可得 ，
π
0, 2
x 
 
 
ππ 3π
,
44 4
x 
 
 
 
π
2 sin 1 0, 2 1
4
f x x
 
 
 
 
 
f x
π
0, 2
 
 
 
0, 2 1
AC
BD
O
PO
AD AB
CD BC
AC AC
ABC ACD△ △≌
BAC DAC  
AO AO
AOB AOD△ △≌
BO OD
O
BD
PBD△
BD OP
BCD△
BD OC
OP OC O
BD
POC
PC
POC
BD PC
AC BD
7CD
13
2
OD BD 
2 2
2CO CD OD  
3 3AO OD 
P ABD
P
ABD
AO
M
22
3
AM AO 
2 2
3PM AP AM  
OA
OB
x
y
(3,0,0)A
( 2,0,0)C
(0, 3, 0)D(1,0, 3)P
( 3,0, 3)PC  

( 2, 3, 0)DC  
⃗
(1, 3, 3)DP
⃗
( 5,0,0)AC  

( 3, 3, 0)AD  
⃗
PCD
( , , )x y zn
0 3 3 0 3 0
02 3 0 2 3 0
PC x z x z
DC x y x y
 
 
 
 
 
 
 
 

⃗
n
n
3x( 3, 2, 3) n
所以
d=|n⋅
⃗
AC|
|n|=5
4
√
3
，故点 到平面 的距离为 ．
方法二：（等体积转化法）
设点 到平面 的距离为 ，可得 ，
由（1）可得， ，又 ， ，
所以 ， ，
由于 为正三棱锥，点 在底面 的垂足一定在 上，设垂足为 ，
根据正三棱锥的性质可得 ， ，
，
作 中点 ，连接 ，由于 ，所以 ，
，所以 ，
所以 ，
所以
于是 ，代入可得 ，
所以点 到平面 的距离为 ．
19.(1)数列 中， ， 为 前 n项和，当 时， ，
，
当 时， ①，
②，
由②-① 得： ， ，
即 ，
A
PCD
53
4
A
PCD
h
P ACD A PCD
V V
 
AC BD
7CD
13
2
OD BD 
2 2
2CO CD OD  
3 3AO OD 
P ABD
P
ABD
AO
M
22
3
AM AO 
2 2
3PM AP AM  
1 1 1 5
( )
3 3 2 2
P ACD ACD
V S PM AC OD PM
   
△
PC
N
DN
PD CD
DN PC
2 2
2 3PC PM MC  
3PN
2 2
2DN PD PN  
12 3
2
PDC
S PC DN 
△
1 5
3 2
A PDC PDC
V S h
 
△
h
53
4
A
PCD
53
4
 
n
a
21a
n
S
 
n
a
1n
1 1 1 1
2 2S a a a 
1
0a 
2n
2
n n
S na
 
1 1
2 1
n n
S n a
 
 
 
1 1
2 2 1
n n n n
S S n a na
 
 
 
1 1
2 1
n n n n
S S n a na
 
 
 
1
1
n n
na n a
 
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