湖北省十一校2023-2024学年高三上学期第一次联考 数学答案

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2024届高三湖北十一校第一次联考 数学试题 第3页（共2页）
x
A
M
y
P
G
F
B
o
l
E
H
2024届高三湖北十一校第一次联考 参考答案
一、选择题
题号
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
A
B
C
C
D
D
BCD
AB
AD
ACD
1.A 【解析】
 
0,1,2,3,4A=
,
 
0,2,4,6
UB=
 
0,2,4
U
AB  =
2.C 【解析】
1 3 1
22
zi
z
+=+
1
2
虚部为
3.A【解析】
382xx 
，
2 2 2x x x  −或
，前面可以推导后面，后面不能推导前面
4.B 【解析】
( )
4
4 4 2t f ae a
= = =时，
42e
=
，再过
1
t
年，
( )
( )
1
4
1
48
t
f t ae a
+
+ = =
( )
1
43 12
82
t
ee
+
= = =
18t=
5.C 【解析】
()AP AB AB AP COS PAB =
，由投影的定义知
 
2,3AP COS PAB
 
4,6AP AB 
6.C 【解析】
( ) ( )
0f x f x− + =
，
( )
fx为奇函数
，
( )
( )
' 2cos xx
f x x e e−
= − +
，
2cos 2x
2
xx
ee
−
+
，
( )
'0fx
( )
fx为减函数
，
( )
( )
24 3 0f x f x− +
2-4 3 1 4x x x x  −  −或
7. D 【解析】将 S按3同余分类得到：
   
0 1 2
3,6,9 , 1,4,7,10 , 2,5,8 ,A A A= = =
3 3 3 1 1 1
3 4 3 3 4 3
3
10
7.
20
CCCCC
PC
+++
 = =
8.D 【解析】由
2
2 5 0
x
ex−=
得
22
5
x
x
e=
，构造函数
()gx=
2
x
x
e
， 求导得
(2 )
'( ) x
xx
gx e
−
=
( ) ( )
( ) ,0 0,2gx −在 上单调递减，在 上单调递增
，
( )
2,+
上单调递减，且
(0) 0g=
，
2
42
(2) 5
ge
=
及
( ) 0x g x→ + →时
，
()gx
的图像如图，得到
2
() 5
gx=
有3个解.
9.BCD
10.AB 【解析】
sin ,cos
33


−


=
31
,
22

−



由三角函数的定义的
13
sin ,cos
22

= = −
取
5,
6
=
( )
5
sin 2 6
f x x

 = −


，
A
正确.
2
:3
Bx
=时，
( )
=1fx
正确，
C:平移后应为
5
y sin 2 6
x

=+


所以 C错.
5 5 5
D: sin 2 - =0 2 - =k
6 6 12 2
k
x x x
 
  = +


由 得
，仅
=0,1k
符合，恰有两个零点，所以 D错.
11. AD【解析】A:
()CD AB CB BD AB CB AB BD AB= + = +
2
0 1,CB AB AB= + = =
故A正确；
B:如图，过 A作
AE BD∥
，且
AE BD=
，连接
ED
，
EC
，则
ABDE
为正方形，
CAE
为二面角
l

−−
的平面角，当
60CAE = 
时，易得
ACE
为正三角形，过 C作CH
AE⊥
,
则CH
AED⊥平面
,故
CDH
即为
CD
与平面
所成的角.
在
Rt CDH
中，
36
sin 4
22
CH
CDH CD
= = =
,故B错误；
C: CD=
3
时
90CAE = 
，C到面
的距离为 1，所以四面体 ABCD 的体积
为
11
1
36
ABD
S=
,所以 C错
D:由CD=
2
可得
60CAE = 
如图，取 AE 的中点 M，BD 的中点 N,连接 CM,MN,CN 则二面角
C BD A−−
的平面角为
CNM
，CM=
3
2
,MN=
1
,所以
27
cos 7
CNM
=
.
12.ACD 【解析】等轴双曲线的离心率为
2
所以 A正确，
B:设
( )
22 2
00
0 0 0 0
0 0 1 2
,, 22
22
xy
x y x y a
P x y d d −
−+
= = =
所以 B错.
C:
tan tan ( ) 1
PA PB
kk

= − = − ，
tan tan tan tan
tan tan( ) 1 tan tan 2
   
  
++
= − + = − = −
−
所以
tan tan 2tan 0
 
+ + =
，C正确.
D: 方法 1：设 l与双曲线及其渐近线依次交于 E,F,G,H
由
( )
2 2 2 2
2 2 2 1 2 0
y kx m k x mkx m a
x y a
=+
− + + + =
−=
得EH 中点的横坐标为
2
1
mk
k−
由
( )
2 2 2
22 1 2 0
0
y kx m k x mkx m
xy
=+
− + + =
−=
得FG 中点的横坐标为
2
1
mk
k−
,
所以 EH 和FG 的中点重合，即 M为双曲线弦 EH 的中点，
由点差法得
12
=1kk
，所以 D正确.
方法 2：设
1 1 2 2 0 0
( , ), ( , ), ( , )F x y G x y M x y
由
22
11 1 2 1 2 1 2 1 2
22
22
0( )( ) ( )( ) 0
0
xy x x x x y y y y
xy
−=
 + − − + − =
−=
0 0 1 1 2
2 2 0 1x y k k k − =  =
，所以 D正确.
x
y
o
H
{#{QQABbQgEggCIABJAABgCQQlaCkMQkAACCIoGREAIoAAAgQFABAA=}#}
2024届高三湖北十一校第一次联考 数学试题 第4页（共2页）
三．填空题：13.
40−
14. 25 15. 6 16.
ae
13.
40−
【解析】
3 2 3 2
5(2 ) ( 1) 40C x x− = −
14. 25【解析】
44x y xy+
，
5 4 5 25xy xy xy xy− 
15. 6 【解析】由抛物线的定义知
MN MF=
,所以
3
MNF MFN NFO
=  =  =
,
8
cos 3
p
NF
==
，
8MN MF==
，
2
M
MF x=+
,所以
6
M
x=
.
16.
ae
【解析】
2
12
1
2
1
( ) 0
ax
xx
ax
xe
xe
−
1 2 2 1
2
1
()
x x ax ax
xe
x
−

两边取对数
2
1 2 2 1 2 1
1 1 2
ln( ) ln ln
xaa
x x ax ax x x
x x x
− −  −
21
21
ln ln
aa
xx
xx
+  +
所以
( )
hx=
ln a
xx
+
在（1，e）上单调递减，所以
( )
' 0 ehx在（1, ）
上恒成立，解出
ae
四．解答题：
17. 解：（ 1） 由
+
2
BA
=
得:
2
2
C A B A
= − − = −
…………………………………………2分
cos cos 2 sin2 2sin cos
2
C A A A A

= − = =


,BA
故A为锐角，
4
cos = 5
A
…………………………………………………………4分
3 4 24
cos =2sin cos 2 5 5 25
C A A =   =
……………………………………………………6分
(2) 由（1）知：
47
sin sin + cos sin
2 5 25
B A A C

= = = =

 ，
由正弦定理得：
25
sin sin sin sin 3
a a b c
A A B C
++
==
++
………………………………………10 分
( )
25 25 3 4 7
sin sin sin ( ) 14
3 3 5 5 25
a b c A B C + + = + + = + + =
故
ABC
的周长为 14.…………………………………………………………………………12 分
18. 解：（1）由
1 6 16
,,a a a
成等比数列，故
2
1 16 6
=a a a ，
即
( ) ( )
2
1 1 1
+15d = 5a a a d+
即
21
25 5d a d=
，又
0d
故
15ad=
，
( ) ( )
1
= + 1 4
n
a a n d n d− = +
……………2分
故等比数列的公比
6
1
2
a
qa
==
…………… ………………………………………………4分
(2) 在等差数列
 
n
a
中，
1( 1) ( 4)
n
k n n
a a k d k d= + − = +
………………………………6分
在等比数列
 
n
k
a
中，
1
1 1 1
k1
2 2 5 2
n
n n n
k
a a a d
− − −
=  =  =
故
( 4)
n
kd+
1
52
n
d−
=
，即
1
=5 2 4
n
n
k−
−
………………………………………………9分
12 =
n
k k k+ ++
21
5 + +2 + 4
nn
−
−（1 2 2 ）
=
5 2 4 5
nn − −
………………………12 分
19 解：（1）证明：∵四边形 ABCD 为矩形，∴
AB CD∥
，
∵
AB
平面
ABE
，
CD
平面
ABE
，∴
CD∥
平面
ABE
………………………………2分
又
CD
平面
CDE
，平面
ABE
平面
CDE l=
，∴
l CD∥
，…………………………4分
∵
CD
平面
ABCD
，∴
l ABCD平面∥
．………………………………………………6分
（2）取 AB，CD 的中点分别为 O，F，连接 OE，OF，则
OF AB⊥
，
∵平面
ABCD
⊥
平面
ABE
，且交线为 AB，∴
OF ⊥
平面
ABE
，
又
OE
平面
ABE
，
OF OE⊥
，
当l与半圆弧
AB
相切时，
OE l⊥
，即
OE AB⊥
，
以OE，OB，OF 所在的直线分别为 x，y，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，……………………………………7分
不妨设
1BC =
，易得
( )
0, 2,0A−
，
C
( )
0,2,1
，
( )
0, 2,1D−
，
( )
2,0,0E
，
则
( )
2,2, 1DE =−
，
( )
0,0,1AD =
，
( )
0,4,0DC =
，
设
( )
1 1 1
,,m x y z=
为平面 DAE 的一个法向量，
则
0
0
AD m
DE m
=
=
，即
1
1 1 1
0
2 2 0
z
x y z
=
+ − =
，∴
1
11
0z
xy
=
=−
，
令
11x=
，则
( )
1, 1,0m=−
……………………9分
设
( )
2 2 2
,,n x y z=
为平面 DCE 的一个法向量，则
0
0
DC n
DE n
=
=
，
即
2
2 2 2
40
2 2 0
y
x y z
=
+ − =
2
22
0
2
y
xz
=
=
令
21x=
，则
( )
1,0,2n=
……………………………………11 分
∴
1 10
cos , 10
25
mn
mn mn
= = =
，所以两平面的夹角的余弦值为
10
10
．………………12 分
20 解：（1）小球三次碰撞全部向左偏或者全部向右偏落入 B袋，故概率
33
03
33
1 1 1
() 2 2 4
P B C C
   
= + =
   
   
小球落入
A
袋中的概率
13
( ) 1 ( ) 1 44
P A P B= − = − =
………………………………………2分
故
23
1
1 2 3 2
3 3 1 13 3 1 3 51
( ) , , 5
4 4 4 16 4 4 4 64
P P A P P C
      
= = = + = = + =
      
       分
(2)法1：游戏过程中累计得不到 n分，只可能在得到 n-1 分后的一次游戏中小球落入 B袋（+2 分）
故
11
11
1 =1 ( 2) 8
44
n n n n
P P P P n
−−
− = −  即 分
法2：游戏过程中累计得 n分可以分为两种情况：得到 n-2 分后的一次游戏小球落入 B袋中（+2 分），
或得到 n-1 分后的一次游戏中小球落入 A袋中（+1）分，
故
1 2 1 1 2
3 1 1 1
= + = ( 3)
4 4 4 4
n n n n n n n
P P P P P P P n
− − − − −
+  +
{#{QQABbQgEggCIABJAABgCQQlaCkMQkAACCIoGREAIoAAAgQFABAA=}#}
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